Aula 312 — Matriz inversa
50 minObjetivo geral
Compreender o conceito de matriz inversa, reconhecendo que nem toda matriz quadrada possui inversa.
Objetivos específicos
- Definir a matriz inversa A-1 como aquela que satisfaz A×A-1=A-1×A=I.
- Calcular a inversa de uma matriz 2×2 usando a fórmula com o determinante.
- Reconhecer que uma matriz só tem inversa se for quadrada E seu determinante for diferente de zero.
- Identificar uma matriz singular (sem inversa) calculando seu determinante.
Conhecimentos prévios
- Determinante de matriz de ordem 2, Módulo 20, Aula 313.
- Multiplicação de matrizes, Módulo 20, Aula 310.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula312_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Wolfram Alpha, para verificar operações e determinantes de matrizes.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: toda matriz quadrada tem uma matriz inversa?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever a matriz S=[[2,4],[1,2]] no quadro e perguntar se ela tem inversa. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): assumir que qualquer matriz quadrada tem inversa, sem verificar a condição necessária: o determinante da matriz precisa ser DIFERENTE de zero.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: A-1 é a matriz tal que A×A-1=I (identidade); para matrizes 2×2, A-1=(1/det A)×[[d,-b],[-c,a]], que só existe se det(A)≠0. Resolvendo a pergunta do Momento 2: det(S)=2×2-4×1=4-4=0 — S é SINGULAR, não tem inversa, mesmo sendo quadrada.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: calcular coletivamente a inversa de A=[[1,2],[3,4]] (det=-2≠0): A-1=(1/-2)×[[4,-2],[-3,1]]=[[-2,1],[1.5,-0.5]]. Em duplas: conferir que A×A-1=I, multiplicando as duas matrizes.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — só tem inversa a matriz quadrada cujo determinante é diferente de zero; S=[[2,4],[1,2]] tem determinante zero, então não tem inversa.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Calcule a inversa de A=[[1,2],[3,4]].
Gabarito: det(A)=-2; A-1=(1/-2)[[4,-2],[-3,1]]=[[-2,1],[1.5,-0.5]].
2. A matriz S=[[2,4],[1,2]] tem inversa? Por quê?
Gabarito: Não — det(S)=2×2-4×1=0, e uma matriz com determinante zero não tem inversa.
3. Quais as duas condições para uma matriz ter inversa?
Gabarito: Ser quadrada e ter determinante diferente de zero.
4. O que significa A×A-1=I?
Gabarito: Que a multiplicação de A pela sua inversa resulta na matriz identidade.
5. Encontre o erro: "toda matriz quadrada tem uma matriz inversa."
Gabarito: Errado: só tem inversa a matriz quadrada com determinante diferente de zero; matrizes com determinante zero (singulares) não têm inversa.