Aula 314 — Determinante de matriz de ordem 3
50 minObjetivo geral
Calcular o determinante de uma matriz de ordem 3 por expansão em cofatores, reconhecendo a necessidade do padrão de sinais alternados.
Objetivos específicos
- Definir cofator Cij como (-1)^(i+j) vezes o menor complementar (determinante da submatriz obtida ao remover a linha i e a coluna j).
- Calcular o determinante de uma matriz 3×3 expandindo por cofatores ao longo da primeira linha.
- Reconhecer o padrão de sinais alternados (+,-,+,...) que multiplica cada menor complementar.
- Verificar o resultado obtido por outro método (ver Aula 315, Regra de Sarrus).
Conhecimentos prévios
- Determinante de matriz de ordem 2, Módulo 20, Aula 313.
- Matriz inversa, Módulo 20, Aula 312.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula314_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Wolfram Alpha, para verificar operações e determinantes de matrizes.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: ao expandir o determinante de uma matriz 3×3 pelos cofatores da primeira linha, todos os termos entram com sinal positivo?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever a expansão errada (todos os termos somados com +) no quadro e perguntar se está certa. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): esquecer o padrão de sinais ALTERNADOS (+,-,+) que multiplica cada menor complementar — o sinal de cada cofator depende da posição (i+j), não é sempre positivo.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: para M=[[1,2,3],[0,1,4],[5,6,0]], expandindo pela 1ª linha: det(M)=a11×C11+a12×C12+a13×C13, com C1j=(-1)^(1+j)×menor. C11=+det([[1,4],[6,0]])=-24; C12=-det([[0,4],[5,0]])=-(-20)=20; C13=+det([[0,1],[5,6]])=-5. Resolvendo a pergunta do Momento 2: det(M)=1×(-24)+2×(20)+3×(-5)=-24+40-15=1 — usando todos os sinais positivos, o resultado seria -24-40-15=-79, bem errado.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: verificar coletivamente cada menor complementar calculado no Momento 3 (removendo a linha 1 e a coluna correspondente). Em duplas: expandir o mesmo determinante pela segunda linha (a21=0, a22=1, a23=4) e conferir que o resultado também dá 1.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — o sinal de cada cofator alterna (+,-,+) conforme a posição; ignorar isso muda completamente o resultado.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Qual o sinal do cofator C12 (posição i=1, j=2)?
Gabarito: Negativo: (-1)^(1+2)=(-1)3=-1.
2. Qual o sinal do cofator C11 (posição i=1, j=1)?
Gabarito: Positivo: (-1)^(1+1)=(-1)2=1.
3. Para M=[[1,2,3],[0,1,4],[5,6,0]], calcule o menor complementar de a11 (remova linha 1, coluna 1).
Gabarito: det([[1,4],[6,0]])=1×0-4×6=-24.
4. Calcule det(M) completo, expandindo pela 1ª linha.
Gabarito: 1×(-24)+2×(20)+3×(-5)=-24+40-15=1.
5. Encontre o erro: "na expansão por cofatores, todos os menores complementares entram somados com sinal positivo."
Gabarito: Errado: o sinal de cada cofator alterna conforme (-1)^(i+j) — não é sempre positivo.