Aula 321 — Sistemas compatíveis indeterminados
50 minObjetivo geral
Reconhecer sistemas compatíveis indeterminados a partir do resultado "0=0" no processo de eliminação, diferenciando-o de um sistema sem solução.
Objetivos específicos
- Resolver um sistema pelo método da adição até obter uma identidade "0=0".
- Interpretar "0=0" como sinal de que o sistema tem infinitas soluções (equação redundante).
- Escrever a solução geral de um sistema indeterminado em função de uma variável livre.
- Diferenciar "0=0" (SPI) de um resultado falso como "0=4" (SI, ver Aula 322).
Conhecimentos prévios
- Sistemas compatíveis determinados, Módulo 21, Aula 320.
- Classificação dos sistemas lineares, Módulo 21, Aula 319.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula321_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- GeoGebra CAS, para resolver e verificar sistemas lineares.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: ao eliminar as duas variáveis do sistema {x+y=5, 2x+2y=10} e chegar em "0=0", isso significa que o sistema NÃO tem solução?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoRealizar a eliminação no quadro (multiplicar a 1ª equação por 2 e subtrair da 2ª) e obter 0=0, perguntando o que isso significa. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): interpretar "0=0" como se fosse uma contradição (sistema sem solução) — mas "0=0" é uma identidade sempre VERDADEIRA, significando que uma equação era redundante (múltipla da outra), e o sistema tem INFINITAS soluções, não nenhuma.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: quando a eliminação resulta em 0=0, uma das equações era combinação linear da outra — o sistema tem infinitas soluções. Resolvendo a pergunta do Momento 2: em {x+y=5, 2x+2y=10}, a 2ª equação é só a 1ª multiplicada por 2; qualquer par (x,y) com x+y=5 é solução — por exemplo, escrevendo x=t (parâmetro livre), y=5-t, para qualquer valor de t.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: verificar coletivamente que x=1,y=4 e x=0,y=5 são ambas soluções válidas do sistema. Em duplas: escrever a solução geral de {2x+4y=8, x+2y=4} (também SPI, já que a 1ª é o dobro da 2ª): x=t, y=(4-t)/2.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — "0=0" significa que o sistema tem INFINITAS soluções (é indeterminado), não que não tem solução nenhuma.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Ao eliminar as variáveis do sistema {x+y=5, 2x+2y=10}, chega-se em 0=0. O que isso significa?
Gabarito: Que o sistema é compatível indeterminado (SPI) — tem infinitas soluções, pois uma equação é múltipla da outra.
2. Verifique que x=1, y=4 é solução de {x+y=5, 2x+2y=10}.
Gabarito: 1+4=5 ✓; 2(1)+2(4)=2+8=10 ✓.
3. Escreva a solução geral de {x+y=5, 2x+2y=10} usando um parâmetro t.
Gabarito: x=t, y=5-t, para qualquer valor real de t.
4. Escreva a solução geral de {2x+4y=8, x+2y=4}.
Gabarito: x=t, y=(4-t)/2, para qualquer valor real de t.
5. Encontre o erro: "se a eliminação resulta em 0=0, o sistema não tem solução."
Gabarito: Errado: "0=0" é uma identidade verdadeira, indicando infinitas soluções (SPI), não a ausência delas.