Aula 323 — Escalonamento de sistemas lineares
50 minObjetivo geral
Escalonar um sistema linear 3×3 usando operações elementares, reconhecendo que eliminar uma variável exige igualar coeficientes ANTES de subtrair.
Objetivos específicos
- Definir escalonamento como o processo de reduzir um sistema a uma forma triangular, eliminando variáveis progressivamente.
- Aplicar operações elementares (multiplicar uma equação por um número não nulo, somar múltiplo de uma equação a outra) para eliminar variáveis.
- Escalonar um sistema 3×3, obtendo uma equação com uma só incógnita ao final.
- Resolver o sistema por substituição regressiva, a partir da última equação escalonada.
Conhecimentos prévios
- Sistemas compatíveis determinados, Módulo 21, Aula 320.
- Sistemas lineares e representação matricial, Módulo 21, Aula 318.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula323_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- GeoGebra CAS, para resolver e verificar sistemas lineares.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: para eliminar x entre E1: x+y+z=6 e E2: 2x-y+z=3, basta subtrair E2-E1 diretamente?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever essa subtração direta (sem multiplicar antes) no quadro e perguntar se elimina x corretamente. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): subtrair as equações diretamente sem multiplicar E1 por 2 antes — como o coeficiente de x em E2 é 2 (não 1, como em E1), subtrair direto resultaria em "2x-x=x", não zero; é preciso IGUALAR os coeficientes antes de eliminar.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: para eliminar x entre E1 e E2, calcula-se E2-2×E1 (multiplicando E1 pelo coeficiente de x em E2 antes de subtrair). Resolvendo a pergunta do Momento 2: E2-2E1 = (2x-y+z)-2(x+y+z) = -3y-z, igual a 3-2(6)=-9, dando E2'=-3y-z=-9. Da mesma forma, E3-E1 (E3: x+2y-z=2) dá E3'=y-2z=-4.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: eliminar coletivamente y entre E2' e E3' (calculando E2'+3×E3'): -3y-z+3y-6z=-9-12 → -7z=-21 → z=3. Em duplas: substituir z=3 em E3' (y-2z=-4) para achar y=2, e depois em E1 (x+y+z=6) para achar x=1.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — é preciso multiplicar E1 por 2 antes de subtrair de E2, para igualar os coeficientes de x e realmente eliminá-lo.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Para eliminar x entre E1: x+y+z=6 e E2: 2x-y+z=3, qual operação fazer?
Gabarito: E2-2×E1, para igualar o coeficiente de x antes de subtrair.
2. Calcule E2-2E1 para as equações acima.
Gabarito: -3y-z=-9.
3. Calcule E3-E1 para E3: x+2y-z=2.
Gabarito: y-2z=-4.
4. Escalonando o sistema completo, qual o valor de z encontrado?
Gabarito: z=3 (a partir de -3y-z=-9 e y-2z=-4 combinadas).
5. Encontre o erro: "para eliminar x entre x+y+z=6 e 2x-y+z=3, basta subtrair as duas equações diretamente."
Gabarito: Errado: os coeficientes de x são diferentes (1 e 2); é preciso multiplicar a primeira equação por 2 antes de subtrair.