Aula 391 — Função tangente
50 minObjetivo geral
Descrever a função f(x)=tan(x), reconhecendo seu período π (metade do período de seno/cosseno) e suas assíntotas verticais.
Objetivos específicos
- Reconhecer o domínio da função tangente (todos os reais, exceto onde cos(x)=0).
- Identificar o período da tangente: π (diferente de 2π do seno e cosseno).
- Identificar as assíntotas verticais da tangente (em x=90°+k·180°).
- Reconhecer que a imagem da tangente é TODO o conjunto dos reais (diferente de [-1,1] do seno/cosseno).
Conhecimentos prévios
- Função cosseno, Aula 390.
- Tangente no ciclo trigonométrico, Aula 386.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula391_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Desmos Graphing Calculator, para explorar gráficos das funções trigonométricas.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: a função tangente tem o mesmo período que seno e cosseno (360° ou 2π)?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoMostrar no Desmos os gráficos de sen(x) e tan(x) sobrepostos e perguntar se os padrões se repetem no mesmo intervalo. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): assumir que todas as funções trigonométricas têm período 2π, por analogia com seno e cosseno — a tangente tem período π (a METADE), porque tan(x+π)=tan(x) (o padrão de sinais se repete a cada meia volta, não a volta inteira).
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: a função tangente tem domínio real exceto onde cos(x)=0 (x=90°+k·180°, onde surgem assíntotas verticais). Seu período é π (não 2π): tan(x+180°)=tan(x). A imagem é TODOS os reais (a tangente cresce sem limite perto das assíntotas). Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — a tangente tem período π, metade do período de seno e cosseno (2π).
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: calcular coletivamente tan(225°) usando a periodicidade π (=180°): tan(225°)=tan(225°-180°)=tan(45°)=1. Em duplas: identificar as duas primeiras assíntotas verticais positivas da tangente (90° e 270°).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — a tangente tem período π (180°), metade do período de seno e cosseno (2π ou 360°).
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Qual o período da função tangente?
Gabarito: π radianos (180°), a metade do período de seno e cosseno.
2. Onde ocorrem as assíntotas verticais da tangente?
Gabarito: Em x=90°+k·180° (onde cos(x)=0).
3. Qual a imagem da função tangente?
Gabarito: Todos os números reais (diferente do intervalo [-1,1] de seno e cosseno).
4. Calcule tan(225°) usando a periodicidade.
Gabarito: tan(225°)=tan(225°-180°)=tan(45°)=1.
5. Encontre o erro: "a tangente tem período 360°, igual ao seno e ao cosseno."
Gabarito: Errado: o período da tangente é 180° (π), a metade do período de seno e cosseno.