Aula 392 — Gráficos das funções trigonométricas
50 minObjetivo geral
Comparar os gráficos de seno, cosseno e tangente, identificando semelhanças e diferenças entre eles.
Objetivos específicos
- Esboçar o gráfico de sen(x) num período completo (formato de onda, começando em 0).
- Esboçar o gráfico de cos(x) num período completo (formato de onda, começando em 1).
- Reconhecer que cos(x)=sen(x+90°) — o gráfico do cosseno é o do seno deslocado.
- Esboçar o gráfico de tan(x), reconhecendo suas assíntotas e comportamento diferente das ondas de seno/cosseno.
Conhecimentos prévios
- Função tangente, Aula 391.
- Função cosseno, Aula 390.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula392_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Desmos Graphing Calculator, para explorar gráficos das funções trigonométricas.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: os gráficos de seno e cosseno parecem duas ondas idênticas. Elas são realmente a mesma curva?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoMostrar no Desmos os gráficos de sen(x) e cos(x) sobrepostos e perguntar se são a mesma curva, só "desenhada diferente". Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): achar que são curvas totalmente distintas por começarem em pontos diferentes (seno em 0, cosseno em 1) — na verdade são a MESMA curva de onda, só deslocada horizontalmente: cos(x)=sen(x+90°).
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: sen(x) começa em 0, sobe até 1 (em 90°), volta a 0 (em 180°), desce até -1 (em 270°), volta a 0 (em 360°). cos(x) tem o mesmo formato de onda, mas começa em 1 — é o gráfico do seno deslocado 90° para a esquerda (cos(x)=sen(x+90°)). A tangente é diferente: cresce de -∞ a +∞ em cada intervalo entre assíntotas, sem formato de onda limitada. Resolvendo a pergunta do Momento 2: sim, são a mesma curva — cosseno é seno deslocado 90° horizontalmente.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: verificar coletivamente que cos(30°)=sen(30°+90°)=sen(120°) (ambos =√3/2). Em duplas: verificar que cos(60°)=sen(150°) (ambos =1/2).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: sim — seno e cosseno são a mesma curva de onda, com o cosseno sendo o seno deslocado 90° para a esquerda.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Em que valor sen(x) atinge seu máximo, e qual é esse valor?
Gabarito: Em x=90°, sen(x)=1.
2. Em que valor cos(x) atinge seu máximo, e qual é esse valor?
Gabarito: Em x=0°, cos(x)=1.
3. Como o gráfico de cosseno se relaciona com o de seno?
Gabarito: cos(x) é o gráfico de sen(x) deslocado 90° para a esquerda: cos(x)=sen(x+90°).
4. Em que os gráficos de seno/cosseno e o de tangente são fundamentalmente diferentes?
Gabarito: Seno e cosseno formam ondas limitadas entre -1 e 1; a tangente tem assíntotas verticais e cresce sem limite entre elas.
5. Encontre o erro: "seno e cosseno são curvas totalmente diferentes, pois começam em pontos diferentes."
Gabarito: Errado: são a mesma curva de onda, só deslocada — cos(x)=sen(x+90°).