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Aula 393 — Adição e subtração de arcos

50 min
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Objetivo geral

Aplicar as fórmulas de adição e subtração de arcos para seno e cosseno, reconhecendo que sen(a+b)≠sen(a)+sen(b).

Objetivos específicos

  • Enunciar sen(a+b)=sen(a)cos(b)+cos(a)sen(b).
  • Enunciar cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b).
  • Usar as fórmulas de adição para calcular sen/cos de ângulos não notáveis, combinando dois ângulos notáveis (ex.: 75°=45°+30°).
  • Reconhecer que sen(a+b) NÃO é igual a sen(a)+sen(b) (erro comum de linearidade).

Conhecimentos prévios

  • Valores notáveis de seno, cosseno e tangente, Aula 380.
  • Relações fundamentais da trigonometria, Aula 388.

Recursos didáticos

  • Apresentação de slides — Possor_MatAula393_Apresentacao.pptx.
  • Quadro/lousa e material de escrita.
  • GeoGebra (círculo trigonométrico), para visualizar ângulos e razões.

Desenvolvimento da aula

Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios

5 min · Ausubel — ativação de subsunçores

O professor pergunta: sen(30°+30°) é igual a sen(30°)+sen(30°)?

Problematização Inicial

5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipado

Calcular no quadro sen(30°)+sen(30°)=1/2+1/2=1, e depois sen(60°) direto na tabela de notáveis (√3/2≈0,866). Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): tratar a função seno como LINEAR, achando que sen(a+b)=sen(a)+sen(b) — os dois resultados (1 vs. √3/2) são diferentes, mostrando que essa "distributividade" não vale para seno (nem para nenhuma função trigonométrica).

Desenvolvimento Conceitual

20 min · Exposição dialogada

Apresentação dos slides 2 a 9: sen(a+b)=sen(a)cos(b)+cos(a)sen(b); cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b) — fórmulas corretas, bem diferentes de uma soma simples. Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — sen(30°+30°)=sen(60°)=√3/2≈0,866, enquanto sen(30°)+sen(30°)=1; são valores diferentes, confirmando que seno não é linear.

Resolução Guiada

10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento Proximal

Resolução guiada: calcular coletivamente sen(75°) usando 75°=45°+30° e a fórmula de adição: sen(45°)cos(30°)+cos(45°)sen(30°)=(√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2)=(√6+√2)/4. Em duplas: calcular cos(75°) usando a fórmula (cos(45°)cos(30°)-sen(45°)sen(30°)=(√6-√2)/4).

Exercícios de Fixação

7 min · Prática independente

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Síntese e Fechamento

3 min · Consolidação (fechamento circular)

Retomar a pergunta do Momento 1: não — sen(a+b)≠sen(a)+sen(b); a fórmula correta envolve produtos cruzados de seno e cosseno, não uma soma simples.

Avaliação formativa

Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.

Lista de exercícios

1. Escreva a fórmula de sen(a+b).

Gabarito: sen(a+b) = sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b).

2. Escreva a fórmula de cos(a+b).

Gabarito: cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b).

3. Calcule sen(75°) usando 75°=45°+30°.

Gabarito: sen(45°)cos(30°)+cos(45°)sen(30°) = (√6+√2)/4.

4. Calcule cos(75°) usando 75°=45°+30°.

Gabarito: cos(45°)cos(30°)-sen(45°)sen(30°) = (√6-√2)/4.

5. Encontre o erro: "sen(30°+30°)=sen(30°)+sen(30°)=1."

Gabarito: Errado: sen(30°+30°)=sen(60°)=√3/2≈0,866, diferente de sen(30°)+sen(30°)=1 — seno não é uma função linear.

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