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Aula 394 — Arco duplo

50 min
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Objetivo geral

Deduzir e aplicar as fórmulas do arco duplo a partir das fórmulas de adição, reconhecendo as três formas equivalentes de cos(2a).

Objetivos específicos

  • Deduzir sen(2a)=2sen(a)cos(a) a partir de sen(a+a).
  • Deduzir cos(2a)=cos2(a)-sen2(a) a partir de cos(a+a).
  • Reconhecer as duas formas alternativas de cos(2a), usando sen2+cos2=1: cos(2a)=2cos2(a)-1=1-2sen2(a).
  • Escolher a forma de cos(2a) mais conveniente conforme o que já se sabe do problema (só sen(a), só cos(a), ou os dois).

Conhecimentos prévios

  • Adição e subtração de arcos, Aula 393.
  • Relações fundamentais da trigonometria, Aula 388.

Recursos didáticos

  • Apresentação de slides — Possor_MatAula394_Apresentacao.pptx.
  • Quadro/lousa e material de escrita.
  • GeoGebra (círculo trigonométrico), para visualizar ângulos e razões.

Desenvolvimento da aula

Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios

5 min · Ausubel — ativação de subsunçores

O professor pergunta: existe só UMA fórmula para cos(2a), ou várias formas equivalentes?

Problematização Inicial

5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipado

Escrever cos2(a)-sen2(a) no quadro e, ao lado, 2cos2(a)-1, perguntando se são fórmulas diferentes ou a mesma coisa escrita de outro jeito. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): achar que só existe uma fórmula "certa" para cos(2a) e travar ao ver uma versão diferente — na verdade cos(2a) tem TRÊS formas equivalentes (usando a relação fundamental sen2+cos2=1 para substituir), e a escolha de qual usar depende do que já se conhece no problema.

Desenvolvimento Conceitual

20 min · Exposição dialogada

Apresentação dos slides 2 a 9: de sen(a+a)=sen(a)cos(a)+cos(a)sen(a), vem sen(2a)=2sen(a)cos(a). De cos(a+a)=cos(a)cos(a)-sen(a)sen(a), vem cos(2a)=cos2(a)-sen2(a); usando sen2=1-cos2, vira cos(2a)=2cos2(a)-1; usando cos2=1-sen2, vira cos(2a)=1-2sen2(a). Resolvendo a pergunta do Momento 2: são a MESMA fórmula, escrita de três formas equivalentes — todas corretas, a escolha depende de qual informação (seno ou cosseno) já se tem.

Resolução Guiada

10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento Proximal

Resolução guiada: usando sen(a)=3/5, cos(a)=4/5 (triângulo 3-4-5), calcular coletivamente sen(2a)=2×(3/5)×(4/5)=24/25. Em duplas: calcular cos(2a) usando cos2-sen2 ((4/5)2-(3/5)2=16/25-9/25=7/25) e conferir com 2cos2-1 (2×16/25-1=32/25-25/25=7/25, mesmo resultado).

Exercícios de Fixação

7 min · Prática independente

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Síntese e Fechamento

3 min · Consolidação (fechamento circular)

Retomar a pergunta do Momento 1: existem três formas equivalentes de cos(2a) — todas corretas, escolhidas conforme a informação disponível (só seno, só cosseno, ou os dois).

Avaliação formativa

Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.

Lista de exercícios

1. Escreva a fórmula de sen(2a).

Gabarito: sen(2a) = 2sen(a)cos(a).

2. Escreva as três formas equivalentes de cos(2a).

Gabarito: cos2(a)-sen2(a) = 2cos2(a)-1 = 1-2sen2(a).

3. Dado sen(a)=3/5 e cos(a)=4/5, calcule sen(2a).

Gabarito: sen(2a)=2×(3/5)×(4/5)=24/25.

4. Dado sen(a)=3/5 e cos(a)=4/5, calcule cos(2a).

Gabarito: cos(2a)=(4/5)2-(3/5)2=16/25-9/25=7/25.

5. Encontre o erro: "cos2(a)-sen2(a) e 2cos2(a)-1 são fórmulas diferentes para coisas diferentes."

Gabarito: Errado: são a MESMA fórmula de cos(2a), escrita de formas equivalentes usando sen2(a)+cos2(a)=1.

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