← Módulo

Aula 395 — Arco metade

50 min
Baixar plano de aula (.docx)Abrir apresentação (.pptx)

Objetivo geral

Aplicar as fórmulas do arco metade, reconhecendo a ambiguidade de sinal que depende do quadrante de a/2.

Objetivos específicos

  • Deduzir sen(a/2)=±√((1-cos(a))/2) a partir de cos(a)=1-2sen2(a/2).
  • Deduzir cos(a/2)=±√((1+cos(a))/2) a partir de cos(a)=2cos2(a/2)-1.
  • Reconhecer que o sinal ± exige saber em que quadrante está a/2 para ser resolvido.
  • Calcular sen e cos de ângulos como 15° (metade de 30°) usando as fórmulas do arco metade.

Conhecimentos prévios

  • Arco duplo, Aula 394.
  • Relações fundamentais da trigonometria, Aula 388.

Recursos didáticos

  • Apresentação de slides — Possor_MatAula395_Apresentacao.pptx.
  • Quadro/lousa e material de escrita.
  • GeoGebra (círculo trigonométrico), para visualizar ângulos e razões.

Desenvolvimento da aula

Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios

5 min · Ausubel — ativação de subsunçores

O professor pergunta: a fórmula do arco metade dá um único valor, ou dois valores possíveis?

Problematização Inicial

5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipado

Escrever sen(a/2)=√((1-cos(a))/2) no quadro (só a raiz positiva) e perguntar se cobre todos os casos. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): esquecer o sinal ± na fórmula do arco metade — a raiz quadrada permite dois sinais, e o correto depende do QUADRANTE em que a/2 está, informação que precisa ser verificada à parte, não vem da fórmula sozinha.

Desenvolvimento Conceitual

20 min · Exposição dialogada

Apresentação dos slides 2 a 9: de cos(a)=1-2sen2(a/2), isolando: sen(a/2)=±√((1-cos(a))/2). De cos(a)=2cos2(a/2)-1: cos(a/2)=±√((1+cos(a))/2). O sinal (+ ou -) depende do quadrante de a/2, não da fórmula. Resolvendo a pergunta do Momento 2: dois valores possíveis (±) — escolher o certo exige saber o quadrante de a/2.

Resolução Guiada

10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento Proximal

Resolução guiada: calcular coletivamente cos(15°) como metade de 30° (a/2=15°, no 1º quadrante, logo positivo): cos(15°)=+√((1+cos30°)/2)=√((1+√3/2)/2). Em duplas: confirmar numericamente que esse valor bate com cos(15°)≈0,966 usando calculadora.

Exercícios de Fixação

7 min · Prática independente

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Síntese e Fechamento

3 min · Consolidação (fechamento circular)

Retomar a pergunta do Momento 1: dois valores possíveis — o sinal ± da fórmula do arco metade só se resolve sabendo o quadrante de a/2.

Avaliação formativa

Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.

Lista de exercícios

1. Escreva a fórmula de sen(a/2).

Gabarito: sen(a/2) = ±√((1-cos(a))/2).

2. Escreva a fórmula de cos(a/2).

Gabarito: cos(a/2) = ±√((1+cos(a))/2).

3. O que determina se o sinal é + ou -?

Gabarito: O quadrante em que a/2 está (positivo nos quadrantes onde a razão é positiva, negativo nos outros).

4. Calcule cos(15°) usando 15°=30°/2 (a/2 no 1º quadrante).

Gabarito: cos(15°)=+√((1+cos30°)/2)=√((1+√3/2)/2) (≈0,966).

5. Encontre o erro: "a fórmula do arco metade sempre dá um único valor positivo."

Gabarito: Errado: a fórmula tem um sinal ±, e o sinal correto depende do quadrante de a/2 — nem sempre é positivo.

← Aula 394Aula 396 →