Aula 396 — Transformações de soma em produto
50 minObjetivo geral
Aplicar as fórmulas de transformação de soma em produto para simplificar expressões como sen(a)+sen(b).
Objetivos específicos
- Enunciar sen(a)+sen(b)=2sen((a+b)/2)cos((a-b)/2).
- Enunciar cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2).
- Escolher a fórmula certa entre soma e diferença (as fórmulas de sen(a)-sen(b) e cos(a)-cos(b) têm estrutura parecida, mas não idêntica).
- Usar a transformação para simplificar ou resolver expressões trigonométricas.
Conhecimentos prévios
- Adição e subtração de arcos, Aula 393.
- Arco duplo, Aula 394.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula396_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- GeoGebra (círculo trigonométrico), para visualizar ângulos e razões.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: sen(a)+sen(b) e sen(a)-sen(b) usam exatamente a mesma fórmula, só trocando um sinal?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever as duas fórmulas lado a lado, com um trecho apagado, e perguntar como completar a diferença a partir da soma. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): assumir que basta trocar um sinal solto na fórmula da soma para obter a da diferença — na fórmula de sen(a)-sen(b)=2sen((a-b)/2)cos((a+b)/2), o seno e o cosseno TROCAM quais metades recebem (diferente de simplesmente inverter um sinal na fórmula da soma).
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: sen(a)+sen(b)=2sen((a+b)/2)cos((a-b)/2); sen(a)-sen(b)=2sen((a-b)/2)cos((a+b)/2) (repare: o seno passa a usar a METADE da diferença, não da soma). cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2); cos(a)-cos(b)=-2sen((a+b)/2)sen((a-b)/2). Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — a estrutura muda mais do que um sinal solto; é preciso decorar cada fórmula com atenção a qual metade vai em qual função.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: calcular coletivamente sen(50°)+sen(20°) usando a fórmula (2sen(35°)cos(15°)). Em duplas: calcular cos(50°)+cos(20°) usando a fórmula correspondente (2cos(35°)cos(15°)).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — as fórmulas de soma e diferença têm estruturas diferentes, não é só trocar um sinal; vale a pena revisar cada uma com cuidado antes de aplicar.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Escreva a fórmula de sen(a)+sen(b).
Gabarito: sen(a)+sen(b) = 2sen((a+b)/2)cos((a-b)/2).
2. Escreva a fórmula de cos(a)+cos(b).
Gabarito: cos(a)+cos(b) = 2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2).
3. Transforme sen(50°)+sen(20°) em produto.
Gabarito: 2sen(35°)cos(15°).
4. Transforme cos(50°)+cos(20°) em produto.
Gabarito: 2cos(35°)cos(15°).
5. Encontre o erro: "a fórmula de sen(a)-sen(b) é igual à de sen(a)+sen(b), só com um sinal de menos a mais."
Gabarito: Errado: em sen(a)-sen(b)=2sen((a-b)/2)cos((a+b)/2), o seno passa a usar a metade da DIFERENÇA (não da soma) — a estrutura muda, não é só um sinal solto.