Aula 397 — Lei dos senos
50 minObjetivo geral
Aplicar a Lei dos Senos para resolver triângulos quaisquer, reconhecendo que ela não exige ângulo reto.
Objetivos específicos
- Enunciar a Lei dos Senos: a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C) = 2R.
- Reconhecer que a Lei dos Senos vale para QUALQUER triângulo, não só retângulos.
- Usar a Lei dos Senos para encontrar um lado desconhecido, dado um ângulo e um lado oposto conhecidos.
- Relacionar a constante 2R ao diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo.
Conhecimentos prévios
- Valores notáveis de seno, cosseno e tangente, Aula 380.
- Triângulos: classificação, Módulo 22, Aula 336.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula397_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- GeoGebra (círculo trigonométrico), para visualizar ângulos e razões.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: as razões trigonométricas do triângulo retângulo (seno, cosseno) só servem para triângulos com ângulo reto?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoDesenhar um triângulo escaleno SEM ângulo reto e perguntar se seno tem alguma utilidade ali. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): achar que seno e cosseno só se aplicam a triângulos retângulos — a Lei dos Senos generaliza o uso do seno para QUALQUER triângulo, relacionando cada lado ao seno do ângulo oposto a ele.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: a Lei dos Senos afirma que, em qualquer triângulo, a/sen(A)=b/sen(B)=c/sen(C)=2R (R é o raio da circunferência circunscrita). Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — a Lei dos Senos usa seno em QUALQUER triângulo, generalizando a ideia de razão entre lado e ângulo oposto para além do triângulo retângulo.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: num triângulo com A=30°, B=90°, lado a=5 (oposto a A), calcular coletivamente 2R=a/sen(A)=5/0,5=10, depois o lado c oposto a C=60° (c=2R×sen(60°)=10×√3/2=5√3≈8,66). Em duplas: calcular o lado b, oposto a B=90° (b=2R×sen(90°)=10×1=10, a hipotenusa).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — a Lei dos Senos generaliza o uso do seno para qualquer triângulo, relacionando cada lado ao seno do ângulo oposto, sem exigir ângulo reto.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Enuncie a Lei dos Senos.
Gabarito: a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C) = 2R, onde R é o raio da circunferência circunscrita.
2. A Lei dos Senos exige que o triângulo tenha ângulo reto?
Gabarito: Não — vale para qualquer triângulo.
3. Num triângulo com A=30°, a=5 (oposto a A), calcule 2R.
Gabarito: 2R=a/sen(A)=5/0,5=10.
4. Nesse mesmo triângulo, com C=60°, calcule o lado c oposto a C.
Gabarito: c=2R×sen(60°)=10×(√3/2)=5√3≈8,66.
5. Encontre o erro: "seno só é útil pra resolver triângulos retângulos."
Gabarito: Errado: a Lei dos Senos usa seno para resolver QUALQUER triângulo, relacionando lados e ângulos opostos, sem exigir ângulo reto.