Aula 398 — Lei dos cossenos
50 minObjetivo geral
Aplicar a Lei dos Cossenos para resolver triângulos quando se conhecem dois lados e o ângulo entre eles (ou os três lados).
Objetivos específicos
- Enunciar a Lei dos Cossenos: c2 = a2 + b2 - 2ab·cos(C).
- Reconhecer a Lei dos Cossenos como generalização do Teorema de Pitágoras (quando C=90°, cos(C)=0 e a fórmula vira o Pitágoras).
- Usar a Lei dos Cossenos para encontrar o terceiro lado, dados dois lados e o ângulo entre eles.
- Reconhecer quando usar Lei dos Cossenos (dois lados e o ângulo entre eles, ou três lados) em vez da Lei dos Senos.
Conhecimentos prévios
- Lei dos senos, Aula 397.
- Teorema de Pitágoras, Módulo 22, Aula 341.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula398_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- GeoGebra (círculo trigonométrico), para visualizar ângulos e razões.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: o Teorema de Pitágoras (c2=a2+b2) vale só para triângulos retângulos. Existe uma versão que funcione para qualquer triângulo?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever c2=a2+b2 no quadro e perguntar o que precisa mudar para funcionar num triângulo sem ângulo reto. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): achar que a Lei dos Cossenos é uma fórmula totalmente nova, sem relação com Pitágoras — na verdade ela é uma generalização direta: c2=a2+b2-2ab·cos(C), e quando C=90° (cos(C)=0), o termo extra desaparece e a fórmula vira exatamente o Pitágoras.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: c2=a2+b2-2ab·cos(C), onde C é o ângulo entre os lados a e b. Quando C=90°, cos(C)=0, e a fórmula vira c2=a2+b2 (Pitágoras) — a Lei dos Cossenos é a generalização para qualquer ângulo C. Resolvendo a pergunta do Momento 2: sim — é exatamente essa generalização, com o termo -2ab·cos(C) corrigindo o Pitágoras para ângulos diferentes de 90°.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: para um triângulo com a=5, b=8, C=60° entre eles, calcular coletivamente c2=25+64-2×5×8×cos(60°)=89-80×0,5=89-40=49, logo c=7. Em duplas: verificar que, se C fosse 90° em vez de 60°, c2 seria simplesmente 25+64=89 (Pitágoras puro, sem o termo extra).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: sim — a Lei dos Cossenos é a generalização do Teorema de Pitágoras; em C=90° o termo extra desaparece e ela vira exatamente o Pitágoras.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Enuncie a Lei dos Cossenos.
Gabarito: c2 = a2 + b2 - 2ab·cos(C), onde C é o ângulo entre os lados a e b.
2. Por que a Lei dos Cossenos vira o Teorema de Pitágoras quando C=90°?
Gabarito: Porque cos(90°)=0, e o termo -2ab·cos(C) desaparece, restando c2=a2+b2.
3. Calcule c num triângulo com a=5, b=8, C=60° (ângulo entre eles).
Gabarito: c2=25+64-2×5×8×0,5=49; c=7.
4. Quando usar Lei dos Cossenos em vez de Lei dos Senos?
Gabarito: Quando se conhecem dois lados e o ângulo ENTRE eles, ou os três lados — situações em que a Lei dos Senos não tem informação suficiente para começar.
5. Encontre o erro: "a Lei dos Cossenos é uma fórmula sem nenhuma relação com o Teorema de Pitágoras."
Gabarito: Errado: a Lei dos Cossenos é a generalização do Teorema de Pitágoras — em C=90°, ela se reduz exatamente a c2=a2+b2.