Aula 431 — Ângulo entre duas retas
50 minObjetivo geral
Calcular o ângulo entre duas retas usando seus coeficientes angulares, reconhecendo que a fórmula dá o ângulo agudo.
Objetivos específicos
- Enunciar a fórmula: tan(θ)=|((m2-m1)/(1+m1·m2))|, para o ângulo agudo θ entre as retas.
- Calcular o ângulo entre duas retas dadas por seus coeficientes angulares.
- Reconhecer que o valor absoluto na fórmula garante que θ seja sempre o ângulo AGUDO (entre 0° e 90°).
- Reconhecer que, sem o valor absoluto, o cálculo poderia dar o ângulo obtuso suplementar.
Conhecimentos prévios
- Ângulo entre vetores, Módulo 25, Aula 413.
- Coeficiente angular, Aula 428.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula431_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- GeoGebra Geometry e Desmos Graphing Calculator, para visualizar pontos, retas e circunferências.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: a fórmula do ângulo entre duas retas sempre dá o mesmo resultado, com ou sem o valor absoluto?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoCalcular tan(θ) para duas retas sem o valor absoluto, obtendo um resultado negativo, e perguntar o que isso significa. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): esquecer o valor absoluto na fórmula — sem ele, o cálculo pode dar o ângulo OBTUSO suplementar em vez do agudo; por convenção, "o ângulo entre duas retas" sempre se refere ao ângulo agudo (ou reto), garantido pelo módulo na fórmula.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: tan(θ)=|((m2-m1)/(1+m1·m2))| dá sempre o ângulo agudo θ entre as duas retas (duas retas concorrentes sempre formam um par de ângulos agudos e um par de obtusos, iguais entre si dois a dois; a convenção é reportar o agudo). Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — sem o módulo, o resultado pode vir negativo, correspondendo ao ângulo obtuso suplementar, não ao agudo esperado.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: calcular coletivamente o ângulo entre as retas de m1=1 e m2=0: tan(θ)=|(0-1)/(1+0)|=1, θ=45°. Em duplas: calcular o ângulo entre m1=2 e m2=-3: tan(θ)=|(-3-2)/(1+2×(-3))|=|-5/-5|=1, θ=45°.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — sem o valor absoluto, o resultado pode dar o ângulo obtuso suplementar; o módulo garante que o resultado seja sempre o ângulo agudo, por convenção.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Escreva a fórmula do ângulo agudo entre duas retas.
Gabarito: tan(θ) = |(m2-m1)/(1+m1·m2)|.
2. Calcule o ângulo entre as retas de m1=1 e m2=0.
Gabarito: tan(θ)=|(0-1)/(1+0)|=1; θ=45°.
3. Calcule o ângulo entre as retas de m1=2 e m2=-3.
Gabarito: tan(θ)=|(-3-2)/(1-6)|=|-5/-5|=1; θ=45°.
4. Por que a fórmula usa valor absoluto?
Gabarito: Para garantir que o resultado seja sempre o ângulo AGUDO entre as retas, não o obtuso suplementar.
5. Encontre o erro: "o valor absoluto na fórmula do ângulo entre retas é só um detalhe estético, não muda o resultado."
Gabarito: Errado: sem o valor absoluto, o cálculo pode dar negativo, correspondendo ao ângulo obtuso suplementar, não ao agudo esperado.