Aula 432 — Distância de ponto a reta
50 minObjetivo geral
Calcular a distância de um ponto a uma reta usando a fórmula com o vetor normal, reconhecendo a necessidade da normalização.
Objetivos específicos
- Enunciar a fórmula: d=|a·x0+b·y0+c|/√(a2+b2), para a reta ax+by+c=0 e o ponto (x0,y0).
- Calcular a distância de um ponto a uma reta dada.
- Reconhecer que dividir por √(a2+b2) é essencial — sem essa normalização, o resultado não é a distância real.
- Reconhecer que a distância é zero quando o ponto pertence à reta.
Conhecimentos prévios
- Equação geral da reta, Aula 425.
- Módulo de um vetor, Módulo 25, Aula 410.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula432_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- GeoGebra Geometry e Desmos Graphing Calculator, para visualizar pontos, retas e circunferências.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: |a·x0+b·y0+c| já é a distância do ponto à reta, ou falta alguma coisa?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoCalcular só o numerador |a·x0+b·y0+c| para um ponto e uma reta, e perguntar se esse já é o valor da distância. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): usar só o numerador |a·x0+b·y0+c| como se já fosse a distância — esse valor depende da escala dos coeficientes (a,b,c) da equação, que não é única (Aula 425); é preciso dividir por √(a2+b2) para NORMALIZAR e obter a distância geométrica real, independente de qual múltiplo da equação foi usado.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: d=|a·x0+b·y0+c|/√(a2+b2) — o denominador normaliza o resultado, tornando-o independente da escala escolhida para a equação da reta. Resolvendo a pergunta do Momento 2: falta dividir por √(a2+b2) — sem essa normalização, o resultado muda dependendo de qual múltiplo da equação foi usado, o que não faz sentido para uma distância geométrica.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: calcular coletivamente a distância do ponto (0,0) à reta 3x+4y-10=0: d=|3×0+4×0-10|/√(9+16)=10/5=2. Em duplas: calcular a distância do ponto (1,1) à mesma reta (d=|3+4-10|/5=3/5=0,6).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: falta dividir por √(a2+b2) — só assim o resultado vira a distância geométrica real, independente da escala dos coeficientes da equação.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Escreva a fórmula da distância de um ponto a uma reta.
Gabarito: d = |a·x0+b·y0+c| / √(a2+b2).
2. Calcule a distância do ponto (0,0) à reta 3x+4y-10=0.
Gabarito: d=|0+0-10|/√(9+16)=10/5=2.
3. Calcule a distância do ponto (1,1) à mesma reta.
Gabarito: d=|3+4-10|/5=3/5=0,6.
4. Por que é preciso dividir por √(a2+b2)?
Gabarito: Para normalizar o resultado, tornando-o independente da escala dos coeficientes (a,b,c) da equação, que não é única.
5. Encontre o erro: "|a·x0+b·y0+c| já é a distância do ponto à reta."
Gabarito: Errado: falta dividir por √(a2+b2) para normalizar — sem isso, o resultado depende da escala escolhida para a equação.