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Aula 433 — Circunferência: equação reduzida

50 min
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Objetivo geral

Escrever a equação reduzida de uma circunferência a partir do centro e do raio, reconhecendo o sinal invertido do centro na equação.

Objetivos específicos

  • Enunciar a equação reduzida: (x-x0)2+(y-y0)2=r2, para centro (x0,y0) e raio r.
  • Escrever a equação de uma circunferência dado o centro e o raio.
  • Identificar o centro e o raio a partir de uma equação reduzida dada.
  • Reconhecer que o centro aparece com sinal INVERTIDO na equação (subtraído), não com seu próprio sinal.

Conhecimentos prévios

  • Distância entre dois pontos, Aula 421.
  • Circunferência e círculo, Módulo 22, Aula 350.

Recursos didáticos

  • Apresentação de slides — Possor_MatAula433_Apresentacao.pptx.
  • Quadro/lousa e material de escrita.
  • GeoGebra Geometry e Desmos Graphing Calculator, para visualizar pontos, retas e circunferências.

Desenvolvimento da aula

Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios

5 min · Ausubel — ativação de subsunçores

O professor pergunta: na equação (x-2)2+(y-3)2=25, o centro da circunferência é (2,3) ou (-2,-3)?

Problematização Inicial

5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipado

Escrever a equação no quadro e propor duas respostas para o centro, sem dizer qual é certa. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): ler os números da equação com o sinal que aparece nela (-2 e -3), achando que o centro é (-2,-3) — a equação SUBTRAI as coordenadas do centro; por isso, (x-2) na equação corresponde a centro com x0=+2, não -2.

Desenvolvimento Conceitual

20 min · Exposição dialogada

Apresentação dos slides 2 a 9: (x-x0)2+(y-y0)2=r2 vem diretamente da fórmula da distância: todo ponto (x,y) da circunferência está a exatamente r de distância do centro (x0,y0). Resolvendo a pergunta do Momento 2: o centro é (2,3) — a equação (x-2)2+(y-3)2 corresponde a x0=2 e y0=3, com sinal invertido dentro dos parênteses.

Resolução Guiada

10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento Proximal

Resolução guiada: escrever coletivamente a equação da circunferência de centro (2,3) e raio 5: (x-2)2+(y-3)2=25. Em duplas: identificar centro e raio de (x+1)2+(y-4)2=9 (centro (-1,4), pois x+1=x-(-1); raio 3).

Exercícios de Fixação

7 min · Prática independente

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Síntese e Fechamento

3 min · Consolidação (fechamento circular)

Retomar a pergunta do Momento 1: o centro é (2,3) — a equação subtrai as coordenadas do centro, então o sinal que aparece dentro dos parênteses é o OPOSTO do sinal do centro.

Avaliação formativa

Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.

Lista de exercícios

1. Escreva a equação reduzida de uma circunferência de centro (x0,y0) e raio r.

Gabarito: (x-x0)2 + (y-y0)2 = r2.

2. Escreva a equação da circunferência de centro (2,3) e raio 5.

Gabarito: (x-2)2+(y-3)2=25.

3. Identifique o centro e o raio de (x+1)2+(y-4)2=9.

Gabarito: Centro (-1,4) [pois x+1=x-(-1)]; raio 3 (√9).

4. De onde vem a equação reduzida da circunferência?

Gabarito: Da fórmula da distância: todo ponto da circunferência está a exatamente r do centro.

5. Encontre o erro: "na equação (x-2)2+(y-3)2=25, o centro é (-2,-3)."

Gabarito: Errado: o centro é (2,3) — a equação subtrai as coordenadas do centro, então o sinal dentro dos parênteses é o oposto do sinal do centro.

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