Aula 434 — Circunferência: equação geral
50 minObjetivo geral
Converter a equação reduzida de uma circunferência para a forma geral (e vice-versa), reconhecendo quando uma equação geral não representa uma circunferência real.
Objetivos específicos
- Expandir a equação reduzida para obter a forma geral: x2+y2-2x0x-2y0y+(x02+y02-r2)=0.
- Converter da forma geral para a reduzida completando quadrados.
- Calcular o centro e o raio a partir dos coeficientes da equação geral.
- Reconhecer que uma equação da forma geral só representa uma circunferência REAL se o raio calculado (r2) for positivo.
Conhecimentos prévios
- Circunferência: equação reduzida, Aula 433.
- Fatoração e produtos notáveis, Módulo 7.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula434_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- GeoGebra Geometry e Desmos Graphing Calculator, para visualizar pontos, retas e circunferências.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: toda equação da forma x2+y2+Dx+Ey+F=0 representa uma circunferência de verdade?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever uma equação geral que, ao completar quadrados, dá r2<0 (por exemplo x2+y2-2x-4y+10=0) e perguntar se ela representa uma circunferência. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): assumir que qualquer equação no formato x2+y2+Dx+Ey+F=0 é automaticamente uma circunferência — depois de completar quadrados, o valor de r2 pode dar ZERO (um único ponto) ou NEGATIVO (nenhum ponto real, "circunferência vazia"); só r2>0 dá uma circunferência de verdade.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: expandindo (x-x0)2+(y-y0)2=r2, obtém-se x2+y2-2x0x-2y0y+(x02+y02-r2)=0 — a forma geral. Para voltar à reduzida, completam-se os quadrados em x e em y. Resolvendo a pergunta do Momento 2: não sempre — para x2+y2-2x-4y+10=0, completando quadrados: (x-1)2+(y-2)2=1+4-10=-5, um r2 negativo, então essa equação NÃO representa uma circunferência real.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: converter coletivamente x2+y2-4x-6y-12=0 para a forma reduzida: (x-2)2+(y-3)2=4+9+12=25 (centro (2,3), raio 5 — uma circunferência real). Em duplas: verificar que x2+y2-2x-4y+10=0 NÃO é uma circunferência real (r2=1+4-10=-5<0).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não sempre — só quando o r2 obtido ao completar quadrados for positivo; r2=0 dá um ponto único, r2<0 não representa nenhum ponto real.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Escreva a forma geral da equação da circunferência.
Gabarito: x2+y2+Dx+Ey+F=0 (equivalente a x2+y2-2x0x-2y0y+(x02+y02-r2)=0).
2. Converta x2+y2-4x-6y-12=0 para a forma reduzida.
Gabarito: (x-2)2+(y-3)2=25 (centro (2,3), raio 5).
3. A equação x2+y2-2x-4y+10=0 representa uma circunferência real?
Gabarito: Não — completando quadrados, r2=1+4-10=-5<0, não representa nenhum ponto real.
4. O que significa r2=0 ao completar os quadrados?
Gabarito: A equação representa um único ponto (o centro), não uma circunferência de raio positivo.
5. Encontre o erro: "toda equação x2+y2+Dx+Ey+F=0 representa uma circunferência real."
Gabarito: Errado: só representa uma circunferência real quando o r2 obtido ao completar quadrados é positivo.