Aula 439 — Elipse: definição e elementos
50 minObjetivo geral
Definir a elipse como o lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias a dois focos é constante.
Objetivos específicos
- Definir elipse: pontos P tais que distância(P,F1)+distância(P,F2)=2a (constante).
- Identificar os elementos: focos, centro, eixo maior (2a), eixo menor (2b), distância focal (2c).
- Reconhecer a relação fundamental: a2=b2+c2 (a é sempre o maior dos três).
- Diferenciar a (semi-eixo maior, sempre o maior valor) de c (semidistância focal).
Conhecimentos prévios
- Distância entre dois pontos, Módulo 26, Aula 421.
- Teorema de Pitágoras, Módulo 22, Aula 341.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula439_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Desmos Graphing Calculator (cônicas), para visualizar parábolas, elipses e hipérboles.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: numa elipse, a (semi-eixo maior) pode ser menor que c (semidistância focal)?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever a=3, c=5 no quadro e perguntar se esses valores podem formar uma elipse válida. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): confundir qual dos três valores (a, b, c) é sempre o maior — na relação a2=b2+c2, a é sempre o maior (hipotenusa do triângulo retângulo formado por a, b, c); se c fosse maior que a, a relação não poderia ser satisfeita com b2 positivo.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: elipse é o lugar geométrico onde a SOMA das distâncias a dois focos é constante, igual a 2a. Os elementos a, b, c satisfazem a2=b2+c2, com a sempre o maior (é a hipotenusa de um triângulo retângulo). Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — a é sempre o semi-eixo maior, o maior dos três valores; a=3 e c=5 não podem coexistir numa elipse real, pois violaria a2=b2+c2 (9 não pode ser igual a b2+25 com b2 positivo).
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: para uma elipse com a=5 e c=3, calcular coletivamente b: b2=a2-c2=25-9=16, b=4. Em duplas: para a=13 e b=12, calcular c (c2=169-144=25, c=5 — trio pitagórico 5-12-13).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — a é sempre o maior dos três valores (a, b, c), pela relação a2=b2+c2; c nunca pode ser maior que a numa elipse real.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Como se define uma elipse?
Gabarito: Como o lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias a dois focos fixos é constante (2a).
2. Escreva a relação fundamental entre a, b e c na elipse.
Gabarito: a2 = b2 + c2, com a sempre o maior dos três.
3. Para a=5 e c=3, calcule b.
Gabarito: b2=25-9=16; b=4.
4. Para a=13 e b=12, calcule c.
Gabarito: c2=169-144=25; c=5.
5. Encontre o erro: "numa elipse, c pode ser maior que a."
Gabarito: Errado: a é sempre o maior dos três valores (a2=b2+c2, com b2 positivo) — c nunca é maior que a.