Aula 440 — Equação da elipse
50 minObjetivo geral
Escrever a equação de uma elipse centrada na origem, reconhecendo como identificar a orientação do eixo maior.
Objetivos específicos
- Enunciar a equação x2/a2+y2/b2=1, com centro na origem.
- Identificar a orientação do eixo maior comparando os denominadores: o MAIOR denominador indica o eixo maior.
- Escrever a equação de uma elipse dados a e b.
- Identificar os focos a partir da equação, calculando c=√(a2-b2) e posicionando-os no eixo maior.
Conhecimentos prévios
- Elipse: definição e elementos, Aula 439.
- Equação reduzida da reta, Módulo 26, Aula 426.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula440_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Desmos Graphing Calculator (cônicas), para visualizar parábolas, elipses e hipérboles.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: em x2/9+y2/25=1, o eixo maior está sobre o eixo x ou o eixo y?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever x2/9+y2/25=1 no quadro e perguntar, sem calcular, qual eixo é o maior. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): assumir por hábito que o eixo maior está sempre sob o x (por ser escrito primeiro na equação) — na verdade o eixo maior está sob a variável que tem o MAIOR denominador, não a que aparece primeiro; aqui, 25>9, então o eixo maior está sob y.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: x2/a2+y2/b2=1, onde o MAIOR dos dois denominadores corresponde a a2 (semi-eixo maior); se o maior denominador estiver sob x, o eixo maior é horizontal; se estiver sob y, é vertical. Resolvendo a pergunta do Momento 2: eixo y — como 25>9, a2=25 (sob y), então o eixo maior é vertical.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: para x2/9+y2/25=1, identificar coletivamente a=5 (sob y), b=3, c=√(25-9)=4, focos em (0,4) e (0,-4). Em duplas: para x2/25+y2/9=1, identificar a=5 (sob x), b=3, c=4, focos em (4,0) e (-4,0).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: eixo y — o eixo maior está sob a variável com o MAIOR denominador, não necessariamente a que aparece primeiro na equação.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Escreva a equação de uma elipse centrada na origem.
Gabarito: x2/a2 + y2/b2 = 1.
2. Em x2/9+y2/25=1, qual eixo é o maior?
Gabarito: O eixo y, pois 25>9 — a2=25 está sob y.
3. Para x2/9+y2/25=1, calcule c e localize os focos.
Gabarito: c=√(25-9)=4; focos em (0,4) e (0,-4), sobre o eixo maior (y).
4. Para x2/25+y2/9=1, calcule c e localize os focos.
Gabarito: c=√(25-9)=4; focos em (4,0) e (-4,0), sobre o eixo maior (x).
5. Encontre o erro: "o eixo maior de uma elipse está sempre sob o x, porque x é escrito primeiro na equação."
Gabarito: Errado: o eixo maior está sob a variável com o MAIOR denominador — pode ser x ou y, dependendo dos valores.