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Aula 441 — Hipérbole: definição e elementos

50 min
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Objetivo geral

Definir a hipérbole como o lugar geométrico dos pontos cuja diferença das distâncias a dois focos é constante.

Objetivos específicos

  • Definir hipérbole: pontos P tais que |distância(P,F1)-distância(P,F2)|=2a (constante).
  • Identificar os elementos: focos, centro, vértices, eixo real (2a), eixo imaginário (2b).
  • Reconhecer a relação fundamental: c2=a2+b2 (c é sempre o maior, diferente da elipse).
  • Diferenciar a definição da hipérbole (DIFERENÇA de distâncias) da elipse (SOMA de distâncias).

Conhecimentos prévios

  • Elipse: definição e elementos, Aula 439.
  • Teorema de Pitágoras, Módulo 22, Aula 341.

Recursos didáticos

  • Apresentação de slides — Possor_MatAula441_Apresentacao.pptx.
  • Quadro/lousa e material de escrita.
  • Desmos Graphing Calculator (cônicas), para visualizar parábolas, elipses e hipérboles.

Desenvolvimento da aula

Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios

5 min · Ausubel — ativação de subsunçores

O professor pergunta: a relação entre a, b e c na hipérbole é a mesma da elipse (a2=b2+c2)?

Problematização Inicial

5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipado

Escrever a2=b2+c2 (relação da elipse) no quadro e perguntar se vale também para a hipérbole. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): aplicar por analogia a mesma relação a2=b2+c2 da elipse à hipérbole — na hipérbole a relação é DIFERENTE: c2=a2+b2 (c é o maior, não a); isso reflete que a hipérbole é definida por uma DIFERENÇA de distâncias (mais "aberta"), não uma soma.

Desenvolvimento Conceitual

20 min · Exposição dialogada

Apresentação dos slides 2 a 9: hipérbole é o lugar geométrico onde a DIFERENÇA (em módulo) das distâncias a dois focos é constante, igual a 2a. Nela, c2=a2+b2 (c é o maior dos três, ao contrário da elipse onde a é o maior). Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — na hipérbole é c2=a2+b2 (c é o maior); na elipse é a2=b2+c2 (a é o maior); são relações diferentes.

Resolução Guiada

10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento Proximal

Resolução guiada: para uma hipérbole com a=3 e b=4, calcular coletivamente c: c2=9+16=25, c=5 (trio 3-4-5, mas com papéis diferentes da elipse). Em duplas: para a=5 e c=13, calcular b (b2=169-25=144, b=12).

Exercícios de Fixação

7 min · Prática independente

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Síntese e Fechamento

3 min · Consolidação (fechamento circular)

Retomar a pergunta do Momento 1: não — na hipérbole, c2=a2+b2 (c é o maior); na elipse, a2=b2+c2 (a é o maior) — são relações opostas.

Avaliação formativa

Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.

Lista de exercícios

1. Como se define uma hipérbole?

Gabarito: Como o lugar geométrico dos pontos cuja diferença (em módulo) das distâncias a dois focos fixos é constante (2a).

2. Escreva a relação fundamental entre a, b e c na hipérbole.

Gabarito: c2 = a2 + b2, com c sempre o maior dos três.

3. Para a=3 e b=4, calcule c.

Gabarito: c2=9+16=25; c=5.

4. Para a=5 e c=13, calcule b.

Gabarito: b2=169-25=144; b=12.

5. Encontre o erro: "a relação entre a, b, c na hipérbole é a mesma da elipse, a2=b2+c2."

Gabarito: Errado: na hipérbole é c2=a2+b2 (c é o maior); na elipse é a2=b2+c2 (a é o maior) — são relações diferentes.

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