Aula 442 — Equação da hipérbole
50 minObjetivo geral
Escrever a equação de uma hipérbole centrada na origem, reconhecendo o papel do sinal negativo entre os termos.
Objetivos específicos
- Enunciar a equação x2/a2-y2/b2=1 (eixo real horizontal) ou y2/a2-x2/b2=1 (eixo real vertical).
- Identificar o eixo real observando qual termo é POSITIVO (não qual denominador é maior, diferente da elipse).
- Escrever as equações das assíntotas: y=±(b/a)x.
- Diferenciar o critério de orientação da hipérbole (sinal positivo) do critério da elipse (maior denominador).
Conhecimentos prévios
- Hipérbole: definição e elementos, Aula 441.
- Equação da elipse, Aula 440.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula442_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Desmos Graphing Calculator (cônicas), para visualizar parábolas, elipses e hipérboles.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: em x2/9-y2/16=1, o eixo real é horizontal ou vertical? Vale o mesmo critério da elipse (maior denominador)?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever x2/9-y2/16=1 no quadro (denominador do y maior que o do x) e perguntar se o eixo real é vertical, por analogia com a elipse. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): aplicar o critério da elipse (maior denominador) à hipérbole — na hipérbole, o eixo real é definido pelo termo POSITIVO, não pelo maior denominador; aqui, x2 é positivo (mesmo com denominador menor, 9<16), então o eixo real é horizontal.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: x2/a2-y2/b2=1 tem eixo real horizontal (o termo com x é positivo); y2/a2-x2/b2=1 tem eixo real vertical. O critério é o SINAL positivo, não o tamanho do denominador. Resolvendo a pergunta do Momento 2: horizontal — x2 é o termo positivo, então a2=9 está sob x, eixo real horizontal, mesmo com denominador menor que o de y2.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: para x2/9-y2/16=1, identificar coletivamente a=3, b=4, eixo real horizontal, assíntotas y=±(4/3)x. Em duplas: para y2/25-x2/16=1, identificar a=5, b=4, eixo real vertical, assíntotas y=±(5/4)x.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não vale o mesmo critério — na hipérbole, o eixo real é definido pelo termo POSITIVO, não pelo maior denominador.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Escreva a equação de uma hipérbole com eixo real horizontal.
Gabarito: x2/a2 - y2/b2 = 1.
2. Em x2/9-y2/16=1, qual é o eixo real?
Gabarito: Horizontal — x2 é o termo positivo, mesmo com denominador menor que o de y2.
3. Escreva as equações das assíntotas para x2/9-y2/16=1.
Gabarito: y = ±(4/3)x.
4. Em y2/25-x2/16=1, qual é o eixo real?
Gabarito: Vertical — y2 é o termo positivo.
5. Encontre o erro: "o eixo real da hipérbole é definido pelo maior denominador, como na elipse."
Gabarito: Errado: na hipérbole, o eixo real é definido pelo termo POSITIVO, não pelo maior denominador.