Aula 443 — Excentricidade das cônicas
50 minObjetivo geral
Calcular a excentricidade de uma cônica (e=c/a) e usá-la para classificar e comparar o formato de diferentes cônicas.
Objetivos específicos
- Enunciar a fórmula unificada: e=c/a para elipse e hipérbole.
- Reconhecer os intervalos: 0<e<1 (elipse), e=1 (parábola), e>1 (hipérbole).
- Interpretar a excentricidade como medida de quão "alongada" (elipse) ou "aberta" (hipérbole) é a cônica.
- Comparar duas elipses (ou duas hipérboles) usando suas excentricidades.
Conhecimentos prévios
- Equação da elipse, Aula 440.
- Equação da hipérbole, Aula 442.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula443_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Desmos Graphing Calculator (cônicas), para visualizar parábolas, elipses e hipérboles.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: uma elipse com e=0,1 é "mais redonda" ou "mais alongada" que uma com e=0,9?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever e=0,1 e e=0,9 no quadro e perguntar qual elipse é mais parecida com um círculo, sem desenhar ainda. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): não ter intuição sobre a direção da escala de excentricidade — quanto mais PRÓXIMA de 0, mais a elipse se aproxima de um círculo (focos quase coincidentes); quanto mais próxima de 1, mais alongada e "achatada" ela fica (focos bem afastados).
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: e=c/a mede a razão entre a distância focal e o semi-eixo maior. Para elipse, 0<e<1: e→0 é quase um círculo, e→1 é bem alongada. Para parábola, e=1 sempre. Para hipérbole, e>1: quanto maior e, mais "aberta" (ramos mais afastados). Resolvendo a pergunta do Momento 2: e=0,1 é mais redonda (perto de um círculo); e=0,9 é mais alongada.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: calcular coletivamente a excentricidade da elipse com a=5, c=3 (e=3/5=0,6). Em duplas: calcular a excentricidade da hipérbole com a=3, c=5 (e=5/3≈1,67) e confirmar que e>1, como esperado.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: e=0,1 é mais redonda (perto de um círculo); quanto mais perto de 1, mais alongada a elipse fica.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Escreva a fórmula da excentricidade.
Gabarito: e = c/a.
2. Em que intervalo está e para uma elipse? E para uma hipérbole?
Gabarito: Elipse: 0<e<1. Hipérbole: e>1.
3. Calcule a excentricidade de uma elipse com a=5, c=3.
Gabarito: e=3/5=0,6.
4. Calcule a excentricidade de uma hipérbole com a=3, c=5.
Gabarito: e=5/3≈1,67.
5. Encontre o erro: "quanto mais próxima de 1, mais redonda (parecida com círculo) fica a elipse."
Gabarito: Errado: quanto mais próxima de 0 (não de 1) que e está, mais redonda a elipse fica; perto de 1, ela é bem alongada.