Aula 461 — Domínio de funções racionais
50 minObjetivo geral
Determinar o domínio de funções racionais fatorando o denominador para encontrar todas as raízes que devem ser excluídas.
Objetivos específicos
- Fatorar o denominador de uma função racional para encontrar todas as suas raízes reais.
- Excluir do domínio todos os valores que anulam o denominador, mesmo os que não são óbvios antes da fatoração.
- Reconhecer que um fator comum entre numerador e denominador não elimina a restrição de domínio, mesmo após simplificação algébrica.
Conhecimentos prévios
- Domínio de funções algébricas, Aula 460 deste módulo.
- Fatoração de expressões algébricas (diferença de quadrados), Módulo 5.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula461_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Desmos Graphing Calculator e Wolfram Alpha, para explorar gráficos e verificar resultados algébricos.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: qual é o domínio de h(x)=(x+1)/(x2-9)? Basta olhar x2-9 e ver que não é zero em x=0?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever h(x)=(x+1)/(x2-9) no quadro e perguntar quais valores de x tornam o denominador zero. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): tentar "adivinhar" as raízes do denominador sem fatorar, arriscando esquecer alguma — x2-9=0 tem DUAS raízes (x=3 e x=-3), e ambas precisam ser excluídas, não só a mais óbvia.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: para achar o domínio de uma função racional, fatorar completamente o denominador e igualar cada fator a zero. x2-9=(x-3)(x+3), raízes x=3 e x=-3 — domínio R-{-3,3}. Caso especial importante: em k(x)=(x-2)/(x2-4), o denominador fatora como (x-2)(x+2); o fator (x-2) é comum ao numerador, então a expressão simplifica para 1/(x+2) — mas o domínio ainda exclui x=2, porque a função ORIGINAL não estava definida ali (mesmo que a versão simplificada pareça estar). Resolvendo a pergunta do Momento 2: não basta olhar de relance — é preciso fatorar x2-9=(x-3)(x+3) para descobrir as duas raízes, -3 e 3, ambas excluídas do domínio.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: determinar coletivamente o domínio de k(x)=(x-2)/(x2-4) (domínio R-{-2,2}, mesmo após simplificar para 1/(x+2)). Em duplas: determinar o domínio de m(x)=(x+5)/(x2-25) (domínio R-{-5,5}).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — é preciso fatorar x2-9=(x-3)(x+3) para encontrar as DUAS raízes do denominador; o domínio é R-{-3,3}, e essa checagem sistemática evita esquecer uma raiz escondida pela fatoração.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Qual o domínio de h(x)=(x+1)/(x2-9)?
Gabarito: R-{-3,3}.
2. Qual o domínio de k(x)=(x-2)/(x2-4), mesmo após simplificar a expressão?
Gabarito: R-{-2,2} — o domínio é definido pela expressão original, antes da simplificação.
3. Qual o domínio de m(x)=(x+5)/(x2-25)?
Gabarito: R-{-5,5}.
4. Por que é preciso fatorar o denominador antes de determinar o domínio de uma função racional?
Gabarito: Porque a fatoração revela todas as raízes reais do denominador, inclusive as que não são visíveis na forma não fatorada.
5. Encontre o erro: "como (x-2)/(x2-4) simplifica para 1/(x+2), o domínio é apenas R-{-2}".
Gabarito: Errado: o domínio é determinado pela expressão original antes de simplificar; x=2 também deve ser excluído, mesmo desaparecendo na forma simplificada.