Aula 463 — Composição e decomposição de funções
50 minObjetivo geral
Compor funções, determinando o domínio da composta considerando tanto o domínio da função interna quanto a exigência de sua imagem pertencer ao domínio da função externa.
Objetivos específicos
- Calcular (f∘g)(x)=f(g(x)) para funções dadas.
- Determinar o domínio de uma função composta corretamente, combinando as restrições de g e de f∘g.
- Decompor uma função dada em duas funções mais simples, identificando a função interna e a externa.
Conhecimentos prévios
- Domínio de funções com radicais, Aula 462 deste módulo.
- Funções: fundamentos e notação f(x), Módulo 12.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula463_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Desmos Graphing Calculator e Wolfram Alpha, para explorar gráficos e verificar resultados algébricos.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: se f(x)=√x (domínio x≥0) e g(x)=x-4 (domínio R), qual é o domínio de (f∘g)(x)=√(x-4)?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever f(x)=√x, g(x)=x-4 e (f∘g)(x)=√(x-4) no quadro e perguntar se o domínio da composta é o domínio de f (x≥0) ou o domínio de g (R). Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): achar que o domínio da composta é simplesmente o domínio da função externa f — o domínio de f∘g exige que g(x) esteja no domínio de f, ou seja, g(x)≥0, o que é uma condição sobre x diferente tanto do domínio de f quanto do domínio de g isoladamente.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: para determinar o domínio de f∘g, é preciso: (1) x estar no domínio de g; (2) g(x) estar no domínio de f. No exemplo, g(x)=x-4 tem domínio R (não restringe nada), mas exigir g(x)≥0 (domínio de f) significa x-4≥0, ou seja x≥4 — domínio da composta é x≥4, diferente tanto de R (domínio de g) quanto de x≥0 (domínio de f isolado). Decomposição é o processo inverso: dada h(x)=√(x2+1), identificar a função interna g(x)=x2+1 e a externa f(u)=√u, de modo que h(x)=f(g(x)). Resolvendo a pergunta do Momento 2: nenhum dos dois isoladamente — o domínio da composta é x≥4, obtido exigindo que g(x)=x-4 seja ≥0 (domínio de f).
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: determinar coletivamente o domínio de (f∘g)(x) para f(x)=1/x e g(x)=x+2 (domínio: x≠-2, pois g(x)=x+2 não pode ser zero, que é a restrição de f). Em duplas: decompor h(x)=1/(x-1)2 em f(u)=1/u2 e g(x)=x-1.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: nem um nem outro — o domínio de f∘g é x≥4, encontrado exigindo que g(x)=x-4 (a entrada de f) satisfaça a restrição de f, que é g(x)≥0.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Sendo f(x)=√x e g(x)=x-4, calcule (f∘g)(x) e seu domínio.
Gabarito: (f∘g)(x)=√(x-4), domínio x≥4.
2. Sendo f(x)=1/x e g(x)=x+2, calcule (f∘g)(x) e seu domínio.
Gabarito: (f∘g)(x)=1/(x+2), domínio x≠-2.
3. Decomponha h(x)=1/(x-1)2 em f(u) e g(x).
Gabarito: f(u)=1/u2, g(x)=x-1.
4. Quais duas condições determinam o domínio de f∘g?
Gabarito: x deve estar no domínio de g, e g(x) deve estar no domínio de f.
5. Encontre o erro: "o domínio de f∘g é sempre igual ao domínio de f".
Gabarito: Errado: o domínio de f∘g depende tanto do domínio de g quanto da exigência de g(x) pertencer ao domínio de f — pode ser diferente do domínio de f isolado.