Aula 464 — Função inversa e interpretação gráfica
50 minObjetivo geral
Determinar algebricamente a função inversa de uma função bijetora e interpretar graficamente sua relação de simetria com a função original.
Objetivos específicos
- Determinar a inversa de uma função afim, trocando x por y e isolando y.
- Verificar algebricamente que f(f-1(x))=x e f-1(f(x))=x.
- Reconhecer que apenas funções bijetoras (injetoras no domínio considerado) possuem inversa completa.
- Interpretar graficamente que o gráfico de f-1 é a reflexão do gráfico de f em torno da reta y=x.
Conhecimentos prévios
- Composição de funções, Aula 463 deste módulo.
- Função afim, Módulo 12.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula464_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Desmos Graphing Calculator e Wolfram Alpha, para explorar gráficos e verificar resultados algébricos.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: toda função tem uma inversa?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever f(x)=x2 no quadro e perguntar qual é sua inversa. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): achar que toda função possui inversa — f(x)=x2 não é injetora em R (f(2)=f(-2)=4), então não tem inversa completa nesse domínio; só existe inversa quando a função é bijetora, ou quando se restringe o domínio para torná-la injetora (por exemplo, x≥0).
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: para achar f-1 de uma função bijetora, trocar x por y na equação y=f(x) e isolar y. Exemplo: f(x)=2x+3, trocando: x=2y+3, isolando: y=(x-3)/2, então f-1(x)=(x-3)/2. Verificação: f(f-1(x))=2·((x-3)/2)+3=x-3+3=x. Graficamente, o gráfico de f-1 é a reflexão do gráfico de f em torno da reta y=x (trocar x por y equivale a trocar os eixos). Para f(x)=x2, restringindo o domínio a x≥0, a inversa existe e é f-1(x)=√x. Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — f(x)=x2 em R não é injetora, não tem inversa completa; restringindo o domínio a x≥0, a inversa passa a existir e é √x.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: determinar coletivamente a inversa de f(x)=3x-6 (f-1(x)=(x+6)/3). Em duplas: determinar a inversa de f(x)=(x+1)/2 (f-1(x)=2x-1) e verificar que f(f-1(0))=0.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — só funções bijetoras (ou restritas a um domínio onde se tornam injetoras) têm inversa; f(x)=x2 em R não é injetora, mas restrita a x≥0 tem inversa √x.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Determine a inversa de f(x)=2x+3.
Gabarito: f-1(x)=(x-3)/2.
2. Determine a inversa de f(x)=3x-6.
Gabarito: f-1(x)=(x+6)/3.
3. Determine a inversa de f(x)=(x+1)/2.
Gabarito: f-1(x)=2x-1.
4. Qual a relação gráfica entre f e f-1?
Gabarito: Os gráficos são reflexões um do outro em torno da reta y=x.
5. Encontre o erro: "f(x)=x2 tem inversa f-1(x)=√x válida para todo x real".
Gabarito: Errado: f(x)=x2 não é injetora em R (f(2)=f(-2)); a inversa √x só é válida restringindo o domínio de f a x≥0.