Aula 471 — Assíntotas oblíquas
50 minObjetivo geral
Determinar a assíntota oblíqua de uma função racional por divisão polinomial, quando o grau do numerador excede o do denominador em exatamente uma unidade.
Objetivos específicos
- Reconhecer a condição para existência de assíntota oblíqua: grau do numerador = grau do denominador + 1.
- Obter a equação da assíntota oblíqua por divisão polinomial (quociente da divisão, ignorando o resto).
- Distinguir quando aplicar a regra de assíntota horizontal (Aula 470) da regra de assíntota oblíqua (graus diferindo em exatamente 1).
Conhecimentos prévios
- Assíntotas horizontais, Aula 470 deste módulo.
- Divisão de polinômios, Módulo 10.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula471_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Desmos Graphing Calculator e Wolfram Alpha, para explorar gráficos e verificar resultados algébricos.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: f(x)=(x2+1)/(x-1) não tem assíntota horizontal (Aula 470) — isso significa que seu gráfico não se aproxima de reta nenhuma quando x cresce?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever f(x)=(x2+1)/(x-1) no quadro e perguntar se a ausência de assíntota horizontal significa ausência de QUALQUER assíntota associada ao crescimento de x. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): aplicar a regra da aula anterior (procurar uma assíntota horizontal, uma reta do tipo y=constante) quando os graus diferem em exatamente 1 — nesse caso específico, existe uma assíntota, mas ela é uma reta INCLINADA (oblíqua, y=mx+n), não uma reta horizontal.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: quando o grau do numerador é exatamente 1 unidade maior que o do denominador, existe uma assíntota oblíqua, obtida dividindo o numerador pelo denominador (divisão polinomial) e tomando o quociente (ignorando o resto). Para f(x)=(x2+1)/(x-1): dividindo x2+1 por x-1, o quociente é x+1 e o resto é 2, então f(x)=(x+1)+2/(x-1) — conforme x cresce, o termo 2/(x-1) se aproxima de 0, e f(x) se aproxima cada vez mais da reta y=x+1 (assíntota oblíqua), além de ter assíntota vertical em x=1. Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — f(x)=(x2+1)/(x-1) tem, sim, uma assíntota, mas ela é oblíqua (y=x+1), não horizontal, porque os graus diferem em exatamente 1 unidade.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: determinar coletivamente a assíntota oblíqua de g(x)=(x2-4)/x (dividindo: quociente x, resto -4, assíntota y=x). Em duplas: verificar que h(x)=(x2+3x+2)/(x+1) simplifica para x+2 (sem resto, pois x+1 é fator exato), tornando a "assíntota" na verdade a própria reta y=x+2 com um buraco em x=-1.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — existe uma assíntota, mas é oblíqua, não horizontal; obtida pela divisão polinomial (x2+1)÷(x-1)=x+1 com resto 2, a reta y=x+1 é a assíntota oblíqua de f(x)=(x2+1)/(x-1).
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Determine a assíntota oblíqua de f(x)=(x2+1)/(x-1).
Gabarito: y=x+1 (quociente da divisão (x2+1)÷(x-1)).
2. Determine a assíntota oblíqua de g(x)=(x2-4)/x.
Gabarito: y=x (quociente da divisão (x2-4)÷x).
3. Qual a condição sobre os graus para existir assíntota oblíqua?
Gabarito: O grau do numerador deve ser exatamente 1 unidade maior que o grau do denominador.
4. Qual a assíntota vertical de f(x)=(x2+1)/(x-1)?
Gabarito: x=1 (raiz do denominador que não se cancela).
5. Encontre o erro: "como f(x)=(x2+1)/(x-1) não tem assíntota horizontal, ela não tem assíntota nenhuma associada ao crescimento de x".
Gabarito: Errado: quando o grau do numerador excede o do denominador em exatamente 1, existe uma assíntota oblíqua (aqui, y=x+1), obtida por divisão polinomial.