Aula 472 — Revisão de funções polinomiais
50 minObjetivo geral
Revisar grau, coeficiente líder, comportamento nas extremidades e número de raízes reais de funções polinomiais.
Objetivos específicos
- Revisar como o grau e o sinal do coeficiente líder determinam o comportamento de f(x) quando x→±∞.
- Revisar a relação entre o grau de um polinômio e seu número MÁXIMO de raízes reais.
- Reconhecer que um polinômio pode ter menos raízes reais que seu grau, quando parte das raízes é complexa.
Conhecimentos prévios
- Funções polinomiais, Módulo 13.
- Números complexos, Módulo 11.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula472_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Desmos Graphing Calculator e Wolfram Alpha, para explorar gráficos e verificar resultados algébricos.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: um polinômio de grau 2, como g(x)=x2+1, sempre tem exatamente 2 raízes reais?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever g(x)=x2+1 no quadro e perguntar quantas raízes reais ele tem. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): achar que o número de raízes reais de um polinômio é sempre igual ao seu grau — um polinômio de grau n tem, no máximo, n raízes reais; algumas (ou todas) das raízes podem ser números complexos, reduzindo o número de raízes REAIS.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: para g(x)=x2+1=0, x2=-1, que não tem solução real (discriminante -4<0) — as duas raízes são complexas (±i), então g tem ZERO raízes reais, apesar de ter grau 2. Já f(x)=x3-x=x(x-1)(x+1) tem grau 3 e exatamente 3 raízes reais (0, 1, -1) — nesse caso, todas as raízes são reais. Sobre o comportamento nas extremidades: o coeficiente líder e a paridade do grau determinam se f(x)→+∞ ou -∞ quando x→±∞ (grau ímpar com coeficiente líder positivo: desce à esquerda, sobe à direita; grau par com coeficiente líder positivo: sobe dos dois lados). Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — g(x)=x2+1 tem grau 2, mas ZERO raízes reais (suas duas raízes são complexas, ±i); o grau é apenas o número MÁXIMO possível de raízes reais.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: determinar coletivamente as raízes reais de f(x)=x3-x (0, 1, -1 — 3 raízes reais para grau 3). Em duplas: verificar que h(x)=x2+4 não tem raiz real (discriminante negativo) e descrever o comportamento de p(x)=-x3+2 quando x→±∞ (sobe à esquerda, desce à direita, coeficiente líder negativo em grau ímpar).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — g(x)=x2+1 tem grau 2 mas nenhuma raiz real, pois suas duas raízes (±i) são complexas; o grau de um polinômio só garante o número MÁXIMO de raízes reais possíveis, não o número exato.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Quantas raízes reais tem g(x)=x2+1?
Gabarito: Zero — suas duas raízes são complexas (±i).
2. Quantas raízes reais tem f(x)=x3-x?
Gabarito: Três: 0, 1 e -1.
3. h(x)=x2+4 tem raiz real? Justifique.
Gabarito: Não — discriminante negativo (0-16<0), as raízes são complexas.
4. Descreva o comportamento de p(x)=-x3+2 quando x→±∞.
Gabarito: Sobe à esquerda (x→-∞, p→+∞) e desce à direita (x→+∞, p→-∞), pois é grau ímpar com coeficiente líder negativo.
5. Encontre o erro: "um polinômio de grau n sempre tem exatamente n raízes reais".
Gabarito: Errado: o grau n é o número MÁXIMO de raízes reais; parte das raízes pode ser complexa, reduzindo o número de raízes reais.