← Módulo

Aula 504 — Regra do produto

50 min
Baixar plano de aula (.docx)Abrir apresentação (.pptx)

Objetivo geral

Aplicar corretamente a regra do produto para derivar o produto de duas funções.

Objetivos específicos

  • Enunciar a regra do produto: (f·g)'=f'·g+f·g'.
  • Aplicar a regra do produto para derivar produtos de funções.
  • Verificar numericamente que f'·g' (a generalização falsa da Aula 503) difere do resultado correto.

Conhecimentos prévios

  • Regra da soma e diferença, Aula 503 deste módulo.
  • Derivada da função potência, Aula 502 deste módulo.

Recursos didáticos

  • Apresentação de slides — Possor_MatAula504_Apresentacao.pptx.
  • Quadro/lousa e material de escrita.
  • Wolfram Alpha e GeoGebra CAS, para verificar derivadas e visualizar retas tangentes.

Desenvolvimento da aula

Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios

5 min · Ausubel — ativação de subsunçores

O professor pergunta: qual é a fórmula correta para derivar um produto de duas funções, já que f'·g' está errado?

Problematização Inicial

5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipado

Retomar da Aula 503 que (f·g)'≠f'·g' e perguntar qual é, então, a fórmula correta. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): esquecer um dos dois termos da regra do produto ao aplicá-la (lembrar só de f'·g, esquecendo +f·g', ou vice-versa) — a regra tem DOIS termos, e omitir qualquer um deles produz um resultado incorreto.

Desenvolvimento Conceitual

20 min · Exposição dialogada

Apresentação dos slides 2 a 9: a regra do produto é (f·g)'=f'·g+f·g' — a derivada de cada fator vezes o OUTRO fator (não derivado), somadas. Para f(x)=x2 e g(x)=sen(x): (f·g)'=2x·sen(x)+x2·cos(x) — confirmando com a definição, esse é o resultado correto (diferente de f'·g'=2x·cos(x), que estava errado). Aplicando a outro exemplo: para p(x)=(x2+1)(x-3), (p)'=2x·(x-3)+(x2+1)·1=2x2-6x+x2+1=3x2-6x+1. Resolvendo a pergunta do Momento 2: (f·g)'=f'·g+f·g' — a soma de dois termos, cada um com um fator derivado e o outro mantido original.

Resolução Guiada

10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento Proximal

Resolução guiada: derivar coletivamente f(x)=x3·cos(x) pela regra do produto (3x2cos(x)-x3sen(x)). Em duplas: derivar g(x)=(2x+1)(x2-4) (resultado 6x2+2x-8, conferível expandindo antes de derivar).

Exercícios de Fixação

7 min · Prática independente

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Síntese e Fechamento

3 min · Consolidação (fechamento circular)

Retomar a pergunta do Momento 1: (f·g)'=f'·g+f·g' — a regra correta tem dois termos, e esquecer qualquer um deles (só f'g, ou só fg') produz um resultado incorreto, diferente da tentativa errada f'·g' testada na aula anterior.

Avaliação formativa

Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.

Lista de exercícios

1. Enuncie a regra do produto.

Gabarito: (f·g)'=f'·g+f·g'.

2. Derive f(x)=x2·sen(x) pela regra do produto.

Gabarito: 2x·sen(x)+x2·cos(x).

3. Derive g(x)=x3·cos(x).

Gabarito: 3x2cos(x)-x3sen(x).

4. Derive p(x)=(2x+1)(x2-4) pela regra do produto e confira expandindo antes.

Gabarito: 6x2+2x-8, confirmado expandindo p(x)=2x3+x2-8x-4 e derivando diretamente.

5. Encontre o erro: "para derivar (2x+1)(x2-4), basta derivar cada fator e multiplicar: (2)(2x)".

Gabarito: Errado: é preciso aplicar a regra do produto completa, (f'·g+f·g'), não multiplicar as derivadas dos fatores.

← Aula 503Aula 505 →