Aula 505 — Regra do quociente

O professor pergunta: para derivar f/g, basta adaptar a regra do produto trocando o sinal de mais para menos, (f'·g-f·g')/g²?

Escrever a regra do quociente no quadro e perguntar se ela é apenas uma pequena adaptação da regra do produto. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): confundir a ORDEM dos termos na regra do quociente — como a subtração não é comutativa (f'g-fg' ≠ fg'-f'g), trocar a ordem dos termos gera o sinal errado, um erro sutil e comum, além de esquecer a divisão por g² (não g).

Apresentação dos slides 2 a 9: a regra do quociente é (f/g)'=(f'·g-f·g')/g² — o numerador da derivada do PRIMEIRO fator vezes o segundo, MENOS o primeiro vezes a derivada do segundo, tudo dividido por g² (o quadrado do denominador original). A ordem importa: trocar para (fg'-f'g)/g² inverte o sinal do resultado. Para f(x)=(x²+1)/(x-3): f'(x)=(2x·(x-3)-(x²+1)·1)/(x-3)²=(2x²-6x-x²-1)/(x-3)²=(x²-6x-1)/(x-3)². Resolvendo a pergunta do Momento 2: não é uma simples troca de sinal — a ORDEM dos termos no numerador é f'g-fg' (não fg'-f'g), e a divisão é por g² (o quadrado do denominador, não o denominador original).

Resolução guiada: derivar coletivamente f(x)=x/(x+1) pela regra do quociente (resultado 1/(x+1)²). Em duplas: derivar g(x)=(x-2)/(x²+3) (resultado (-x²+4x+3)/(x²+3)²).

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Retomar a pergunta do Momento 1: não — a regra do quociente tem ordem específica no numerador (f'g-fg', nunca invertida) e divide por g² (o quadrado do denominador), diferenças que, se ignoradas, produzem resultado com sinal errado.