Aula 506 — Regra da cadeia
50 minObjetivo geral
Aplicar a regra da cadeia para derivar funções compostas, sem esquecer a derivada da função interna.
Objetivos específicos
- Enunciar a regra da cadeia: (f(g(x)))'=f'(g(x))·g'(x).
- Aplicar a regra da cadeia para derivar composições simples.
- Reconhecer o erro comum de esquecer o fator g'(x) (a derivada da função interna).
Conhecimentos prévios
- Composição de funções, Módulo 28.
- Regra do quociente, Aula 505 deste módulo.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula506_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Wolfram Alpha e GeoGebra CAS, para verificar derivadas e visualizar retas tangentes.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: qual é a derivada de sen(3x)? É simplesmente cos(3x)?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever sen(3x) no quadro e perguntar se a derivada é cos(3x), por analogia direta com a derivada de sen(x). Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): aplicar a regra de derivação da função externa (sen→cos) esquecendo completamente de multiplicar pela derivada da função INTERNA (3x, cuja derivada é 3) — esse é o erro mais comum ao derivar funções compostas: "esquecer o de dentro".
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: a regra da cadeia diz que, para uma função composta f(g(x)), a derivada é f'(g(x))·g'(x) — deriva-se a função EXTERNA (mantendo a interna intacta dentro), e multiplica-se pela derivada da função INTERNA. Para sen(3x): a externa é sen(u) com u=3x; f'(u)=cos(u), g'(x)=3; então (sen(3x))'=cos(3x)·3=3cos(3x) — não apenas cos(3x). Outro exemplo: para (x2+1)5, a externa é u5 com u=x2+1; f'(u)=5u4, g'(x)=2x; então a derivada é 5(x2+1)4·2x=10x(x2+1)4. Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — a derivada de sen(3x) é 3cos(3x), não apenas cos(3x); é preciso multiplicar pela derivada da função interna (3x)'=3.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: derivar coletivamente cos(5x) pela regra da cadeia (-5sen(5x)). Em duplas: derivar (x3-2x)4 (resultado 4(x3-2x)3·(3x2-2)).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — a derivada de sen(3x) é 3cos(3x), não cos(3x); esquecer de multiplicar pela derivada da função interna (aqui, 3) é o erro mais comum ao aplicar a regra da cadeia.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Enuncie a regra da cadeia.
Gabarito: (f(g(x)))'=f'(g(x))·g'(x).
2. Derive sen(3x).
Gabarito: 3cos(3x).
3. Derive cos(5x).
Gabarito: -5sen(5x).
4. Derive (x2+1)5.
Gabarito: 10x(x2+1)4.
5. Encontre o erro: "a derivada de sen(3x) é cos(3x), pela mesma regra de sen(x)".
Gabarito: Errado: é preciso multiplicar pela derivada da função interna (3x)'=3, resultando em 3cos(3x).