Aula 507 — Derivadas de funções polinomiais
50 minObjetivo geral
Consolidar a derivação de funções polinomiais, combinando a regra da potência com a regra da soma.
Objetivos específicos
- Derivar qualquer função polinomial, termo a termo, combinando as regras já vistas.
- Calcular a derivada num ponto específico, substituindo o valor após derivar.
- Reconhecer que a derivada de um polinômio de grau n é um polinômio de grau n-1.
Conhecimentos prévios
- Regra da soma e diferença, Aula 503 deste módulo.
- Derivada da função potência, Aula 502 deste módulo.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula507_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Wolfram Alpha e GeoGebra CAS, para verificar derivadas e visualizar retas tangentes.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: para calcular f'(2) de f(x)=2x3-5x2+4x-7, é preciso substituir x=2 antes ou depois de derivar?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever f(x)=2x3-5x2+4x-7 no quadro e perguntar se substituir x=2 antes de derivar dá o mesmo resultado que derivar e depois substituir. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): substituir o valor numérico ANTES de derivar (transformando a função num número, que tem derivada zero) — é preciso SEMPRE derivar primeiro, obtendo a função derivada f'(x), e só então substituir o valor de x desejado.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: para derivar um polinômio, aplica-se a regra da potência a cada termo e soma-se (regra da soma): f(x)=2x3-5x2+4x-7 tem f'(x)=6x2-10x+4 (derivando cada termo: 2x3→6x2, -5x2→-10x, 4x→4, -7→0). Só DEPOIS de obter f'(x) como função, substitui-se um valor específico: f'(2)=6(4)-10(2)+4=24-20+4=8. Se a substituição fosse feita antes de derivar, f(2)=2(8)-5(4)+4(2)-7=16-20+8-7=-3 seria só um número, sem derivada — a ordem das operações (derivar, depois substituir) é essencial. Resolvendo a pergunta do Momento 2: é preciso derivar PRIMEIRO, obtendo f'(x)=6x2-10x+4, e só então substituir x=2, resultando em f'(2)=8.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: derivar coletivamente f(x)=x4-3x2+2 e calcular f'(1) (f'(x)=4x3-6x, f'(1)=-2). Em duplas: derivar g(x)=5x3+x-9 e calcular g'(0) (g'(x)=15x2+1, g'(0)=1).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: depois — é preciso derivar a função primeiro, obtendo f'(x)=6x2-10x+4, e só então substituir x=2 (resultado 8); substituir antes transformaria a função num número sem derivada.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Derive f(x)=2x3-5x2+4x-7 e calcule f'(2).
Gabarito: f'(x)=6x2-10x+4; f'(2)=8.
2. Derive f(x)=x4-3x2+2 e calcule f'(1).
Gabarito: f'(x)=4x3-6x; f'(1)=-2.
3. Derive g(x)=5x3+x-9 e calcule g'(0).
Gabarito: g'(x)=15x2+1; g'(0)=1.
4. A derivada de um polinômio de grau 5 tem qual grau?
Gabarito: Grau 4.
5. Encontre o erro: "para calcular f'(2), substituo x=2 em f(x) primeiro e depois derivo o número".
Gabarito: Errado: é preciso derivar f(x) primeiro para obter f'(x), e só então substituir x=2 na função derivada.