Aula 508 — Derivadas de funções racionais
50 minObjetivo geral
Consolidar a derivação de funções racionais usando a regra do quociente.
Objetivos específicos
- Aplicar a regra do quociente para derivar funções racionais completas.
- Simplificar o resultado da derivada quando possível.
- Reconhecer que o domínio da derivada de uma função racional exclui os mesmos pontos excluídos do domínio da função original.
Conhecimentos prévios
- Regra do quociente, Aula 505 deste módulo.
- Domínio de funções racionais, Módulo 28.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula508_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Wolfram Alpha e GeoGebra CAS, para verificar derivadas e visualizar retas tangentes.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: para derivar f(x)=(3x-1)/(x2+2), dá pra aplicar a regra da potência direto no numerador e no denominador separadamente?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever f(x)=(3x-1)/(x2+2) no quadro e perguntar se basta derivar numerador e denominador separadamente (como se fossem independentes). Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): tentar "derivar em cima e embaixo separadamente" (como se fosse uma simplificação de fração) em vez de aplicar a regra do quociente completa — uma função racional é uma DIVISÃO de funções, e sua derivada exige a fórmula do quociente, não uma derivação termo a termo do numerador e denominador isolados.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: para derivar uma função racional f(x)=p(x)/q(x), aplica-se integralmente a regra do quociente: f'(x)=(p'(x)·q(x)-p(x)·q'(x))/q(x)2. Para f(x)=(3x-1)/(x2+2): p(x)=3x-1, p'(x)=3; q(x)=x2+2, q'(x)=2x; f'(x)=(3(x2+2)-(3x-1)(2x))/(x2+2)2=(3x2+6-6x2+2x)/(x2+2)2=(-3x2+2x+6)/(x2+2)2. O domínio de f'(x) é o mesmo de f(x): R (pois x2+2 nunca é zero). Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — é preciso aplicar a regra do quociente completa, combinando as derivadas de numerador e denominador segundo a fórmula (p'q-pq')/q2, não derivá-los isoladamente.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: derivar coletivamente f(x)=(x+4)/(x-1) pela regra do quociente (resultado -5/(x-1)2). Em duplas: derivar g(x)=(x2-1)/(2x+3) (resultado (2x2+6x+2)/(2x+3)2).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — funções racionais exigem a regra do quociente completa, combinando numerador, denominador e suas derivadas na fórmula (p'q-pq')/q2; não é uma derivação separada de cada parte.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Derive f(x)=(3x-1)/(x2+2).
Gabarito: (-3x2+2x+6)/(x2+2)2.
2. Derive f(x)=(x+4)/(x-1).
Gabarito: -5/(x-1)2.
3. Derive g(x)=(x2-1)/(2x+3).
Gabarito: (2x2+6x+2)/(2x+3)2.
4. Qual o domínio da derivada de uma função racional?
Gabarito: O mesmo domínio da função original — exclui os pontos onde o denominador se anula.
5. Encontre o erro: "para derivar (3x-1)/(x2+2), basta derivar 3x-1 e x2+2 separadamente e dividir os resultados".
Gabarito: Errado: é preciso aplicar a regra do quociente completa, não derivar numerador e denominador isoladamente e dividir.