Aula 509 — Derivadas de funções trigonométricas
50 minObjetivo geral
Derivar as funções trigonométricas fundamentais, com atenção especial ao sinal da derivada do cosseno.
Objetivos específicos
- Reconhecer d/dx[sen(x)]=cos(x) e d/dx[cos(x)]=-sen(x).
- Derivar d/dx[tan(x)]=sec2(x) a partir da regra do quociente aplicada a sen(x)/cos(x).
- Combinar as derivadas trigonométricas com a regra da cadeia.
Conhecimentos prévios
- Limite trigonométrico fundamental, Módulo 29.
- Regra do quociente, Aula 505 deste módulo.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula509_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Wolfram Alpha e GeoGebra CAS, para verificar derivadas e visualizar retas tangentes.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: a derivada de cos(x) é sen(x), pela mesma lógica de sen(x) ter derivada cos(x)?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever d/dx[sen(x)]=cos(x) no quadro e perguntar se, por simetria, d/dx[cos(x)]=sen(x). Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): esquecer o sinal negativo na derivada do cosseno — d/dx[cos(x)]=-sen(x), não sen(x); esse sinal é um dos erros mais comuns em cálculo, e vem diretamente do comportamento geométrico do cosseno (que decresce quando x cresce a partir de 0).
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: usando os limites fundamentais do Módulo 29 (sen(x)/x→1 e (1-cos(x))/x→0), demonstra-se que d/dx[sen(x)]=cos(x) e d/dx[cos(x)]=-sen(x) (com sinal negativo). Para a tangente, usando a regra do quociente em tan(x)=sen(x)/cos(x): (tan(x))'=(cos(x)·cos(x)-sen(x)·(-sen(x)))/cos2(x)=(cos2(x)+sen2(x))/cos2(x)=1/cos2(x)=sec2(x) (usando a identidade fundamental sen2+cos2=1). Combinando com a regra da cadeia: d/dx[cos(5x)]=-5sen(5x). Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — d/dx[cos(x)]=-sen(x), com sinal NEGATIVO; esquecer esse sinal é um erro muito comum.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: derivar coletivamente f(x)=3sen(x)-2cos(x) (3cos(x)+2sen(x)). Em duplas: derivar g(x)=sen(x)·cos(x) pela regra do produto (resultado cos2(x)-sen2(x), que também pode ser escrito como cos(2x)).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — d/dx[cos(x)]=-sen(x), com sinal negativo; o cosseno decresce a partir de x=0, então sua derivada ali é negativa, confirmando o sinal.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Qual a derivada de sen(x)? E de cos(x)?
Gabarito: d/dx[sen(x)]=cos(x); d/dx[cos(x)]=-sen(x).
2. Qual a derivada de tan(x)?
Gabarito: sec2(x).
3. Derive f(x)=3sen(x)-2cos(x).
Gabarito: 3cos(x)+2sen(x).
4. Derive g(x)=sen(x)·cos(x) pela regra do produto.
Gabarito: cos2(x)-sen2(x).
5. Encontre o erro: "a derivada de cos(x) é sen(x), pela mesma lógica da derivada de sen(x)".
Gabarito: Errado: a derivada de cos(x) é -sen(x), com sinal negativo.