Aula 510 — Derivadas de funções exponenciais

O professor pergunta: a derivada de 2^x é x·2^(x-1), pela regra da potência?

Escrever 2^x no quadro e perguntar se a regra da potência (d/dx[xⁿ]=n·x^(n-1)) se aplica aqui. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): confundir a^x (base CONSTANTE, expoente VARIÁVEL — função exponencial) com xⁿ (base VARIÁVEL, expoente CONSTANTE — função potência) — são estruturas opostas, e a regra da potência simplesmente não se aplica a 2^x; a exponencial tem sua própria regra de derivação.

Apresentação dos slides 2 a 9: usando o limite exponencial fundamental (Módulo 29), demonstra-se que d/dx[e^x]=e^x — a função exponencial natural é sua PRÓPRIA derivada, uma propriedade única que a caracteriza. Para uma base geral a>0, a≠1: d/dx[a^x]=a^x·ln(a) (usando a^x=e^(x·ln(a)) e a regra da cadeia). Por exemplo, d/dx[2^x]=2^x·ln(2). Combinando com a cadeia: d/dx[e^(3x)]=3e^(3x). Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — a regra da potência não se aplica a 2^x, pois ali o expoente é a variável, não a base; a derivada correta é 2^x·ln(2), usando a regra própria da exponencial.

Resolução guiada: derivar coletivamente f(x)=e^(2x) pela regra da cadeia (2e^(2x)). Em duplas: derivar g(x)=3^x (resultado 3^x·ln(3)) e h(x)=x²·e^x pela regra do produto (resultado 2x·e^x+x²·e^x).

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Retomar a pergunta do Momento 1: não — 2^x é uma exponencial (base constante, expoente variável), não uma potência; a derivada correta é 2^x·ln(2), não a regra da potência (que não se aplica a essa estrutura).