Aula 516 — Reta tangente e reta normal
50 minObjetivo geral
Determinar as equações da reta tangente e da reta normal a uma curva num ponto dado.
Objetivos específicos
- Escrever a equação da reta tangente usando a inclinação f'(a) e o ponto (a,f(a)).
- Escrever a equação da reta normal, com inclinação igual ao oposto do inverso de f'(a).
- Reconhecer que a reta normal não tem a mesma inclinação da reta tangente — são perpendiculares.
Conhecimentos prévios
- Interpretação geométrica da derivada, Aula 501 deste módulo.
- Perpendicularismo entre retas, Módulo 26.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula516_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Wolfram Alpha e GeoGebra CAS, para verificar derivadas e visualizar retas tangentes.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: se a reta tangente a f(x)=x2 em x=1 tem inclinação 2, a reta normal nesse mesmo ponto também tem inclinação 2?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever f'(1)=2 no quadro e perguntar se a reta normal (perpendicular à tangente) compartilha a mesma inclinação. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): achar que a reta normal tem a MESMA inclinação da reta tangente (confundindo os dois conceitos) — a reta normal é PERPENDICULAR à tangente, então sua inclinação é o oposto do inverso (recíproco negativo) da inclinação da tangente, retomando a relação de perpendicularismo do Módulo 26.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: a reta tangente em x=a tem equação y-f(a)=f'(a)(x-a), com inclinação f'(a). A reta normal, perpendicular à tangente no mesmo ponto, tem inclinação -1/f'(a) (o oposto do inverso, desde que f'(a)≠0) e equação y-f(a)=(-1/f'(a))(x-a). Para f(x)=x2 em x=1: f(1)=1, f'(1)=2; a tangente é y-1=2(x-1), ou y=2x-1; a normal é y-1=(-1/2)(x-1), ou y=-x/2+3/2. Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — a reta normal tem inclinação -1/2 (o oposto do inverso de 2), perpendicular à tangente, não a mesma inclinação 2.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: determinar coletivamente a reta tangente e a reta normal a f(x)=x3 em x=1 (tangente: y=3x-2; normal: y=-x/3+4/3). Em duplas: determinar a reta normal a f(x)=√x em x=4 (f'(4)=1/4, normal com inclinação -4, equação y=-4x+18).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — a reta normal tem inclinação -1/2 (o oposto do inverso de 2), pois é perpendicular à reta tangente; as duas retas têm inclinações diferentes por definição.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Determine a reta tangente a f(x)=x2 em x=1.
Gabarito: y=2x-1.
2. Determine a reta normal a f(x)=x2 em x=1.
Gabarito: y=-x/2+3/2.
3. Determine a reta tangente a f(x)=x3 em x=1.
Gabarito: y=3x-2.
4. Determine a reta normal a f(x)=√x em x=4.
Gabarito: y=-4x+18.
5. Encontre o erro: "a reta normal a uma curva num ponto tem a mesma inclinação da reta tangente nesse ponto".
Gabarito: Errado: a reta normal é perpendicular à tangente, com inclinação igual ao oposto do inverso da inclinação da tangente.