Aula 517 — Taxas relacionadas
50 minObjetivo geral
Resolver problemas de taxas relacionadas, derivando a relação entre variáveis antes de substituir valores numéricos.
Objetivos específicos
- Identificar a equação que relaciona as variáveis num problema de taxas relacionadas.
- Derivar essa equação em relação ao tempo, usando a regra da cadeia (derivação implícita em t).
- Substituir os valores numéricos SOMENTE depois de derivar a equação geral.
Conhecimentos prévios
- Derivação implícita, Aula 512 deste módulo.
- Regra da cadeia, Aula 506 deste módulo.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula517_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Wolfram Alpha e GeoGebra CAS, para verificar derivadas e visualizar retas tangentes.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: numa escada de 10 m apoiada numa parede, se o pé da escada desliza com dx/dt=2, para achar dy/dt no momento em que x=6, dá pra substituir x=6 na equação x2+y2=100 antes de derivar?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever x2+y2=100 (comprimento da escada ao quadrado) no quadro e perguntar se substituir x=6 antes de derivar dá o resultado correto. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): substituir os valores numéricos ANTES de derivar a equação geral — isso transforma a equação numa igualdade entre números (perdendo a relação entre as taxas), impedindo o cálculo de dy/dt; é preciso SEMPRE derivar a equação geral em relação ao tempo PRIMEIRO, e só depois substituir os valores conhecidos.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: em problemas de taxas relacionadas, deriva-se a equação que relaciona as variáveis em relação ao TEMPO (usando a regra da cadeia, pois x e y são funções de t), e só então se substituem os valores numéricos conhecidos. Para x2+y2=100 (x=distância do pé da escada até a parede, y=altura no momento): derivando em t, 2x·dx/dt+2y·dy/dt=0. No momento em que x=6 (então y=8, pois 36+64=100), com dx/dt=2: 2(6)(2)+2(8)·dy/dt=0, então dy/dt=-3/2 — a altura diminui a 1,5 m por unidade de tempo. Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — é preciso derivar a equação x2+y2=100 primeiro (obtendo 2x·dx/dt+2y·dy/dt=0), e só então substituir x=6, y=8 e dx/dt=2.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: resolver coletivamente um problema de taxas relacionadas: um balão esférico é inflado a uma taxa de dV/dt=100 cm3/s; encontrar dr/dt quando r=5 cm, usando V=(4/3)πr3 (derivando: dV/dt=4πr2·dr/dt, então dr/dt=100/(4π·25)=1/π). Em duplas: um quadrado tem lado crescendo a dl/dt=3 cm/s; encontrar a taxa de crescimento da área quando l=10 cm (A=l2, dA/dt=2l·dl/dt=60 cm2/s).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — substituir x=6 antes de derivar destrói a relação entre as taxas; é preciso derivar x2+y2=100 em relação ao tempo primeiro (obtendo a equação geral entre as taxas), e só então substituir os valores numéricos.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Para a escada de 10 m (x2+y2=100), com dx/dt=2 e x=6 (y=8), calcule dy/dt.
Gabarito: dy/dt=-3/2.
2. Um balão esférico é inflado a dV/dt=100 cm3/s. Encontre dr/dt quando r=5 cm (V=(4/3)πr3).
Gabarito: dr/dt=1/π cm/s.
3. Um quadrado tem lado crescendo a dl/dt=3 cm/s. Encontre dA/dt quando l=10 cm.
Gabarito: dA/dt=60 cm2/s.
4. Em um problema de taxas relacionadas, quando se deve substituir os valores numéricos conhecidos?
Gabarito: Somente depois de derivar a equação geral em relação ao tempo.
5. Encontre o erro: "para simplificar, substituo os valores conhecidos na equação antes de derivar".
Gabarito: Errado: substituir antes de derivar destrói a relação entre as taxas; é preciso derivar a equação geral primeiro.