Aula 518 — Pontos críticos
50 minObjetivo geral
Identificar pontos críticos de uma função, incluindo pontos onde a derivada é zero e pontos onde ela não existe.
Objetivos específicos
- Definir ponto crítico como um valor de x onde f'(x)=0 ou f'(x) não existe.
- Encontrar pontos críticos resolvendo f'(x)=0.
- Reconhecer que pontos onde f' não está definida (mas f está) também são pontos críticos.
Conhecimentos prévios
- Interpretação geométrica da derivada, Aula 501 deste módulo.
- Funções definidas por partes, Módulo 28.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula518_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Wolfram Alpha e GeoGebra CAS, para verificar derivadas e visualizar retas tangentes.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: os pontos críticos de uma função são só os pontos onde f'(x)=0?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever f(x)=x3-3x no quadro, encontrar seus pontos críticos (x=-1 e x=1) e perguntar se existe algum outro tipo de ponto crítico. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): definir ponto crítico apenas como "onde f'(x)=0", esquecendo o segundo caso — pontos onde f'(x) NÃO EXISTE (mas f(x) existe), como bicos ou pontos angulosos, TAMBÉM são pontos críticos.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: um ponto crítico de f é um valor x=c no domínio de f onde f'(c)=0 OU f'(c) não existe. Para f(x)=x3-3x: f'(x)=3x2-3=0 dá x=-1 e x=1 — dois pontos críticos. Já para f(x)=|x|, f'(x) não existe em x=0 (a função tem um "bico" ali, sem tangente bem definida), mas f(0)=0 existe — x=0 também é ponto crítico, mesmo sem f'(0)=0. Os pontos críticos são os candidatos a máximos e mínimos locais (a serem confirmados nas próximas aulas). Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — pontos onde f'(x) não existe (mas f(x) existe), como bicos ou pontas, também são pontos críticos, além dos pontos onde f'(x)=0.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: encontrar coletivamente os pontos críticos de f(x)=x3-3x (x=-1 e x=1). Em duplas: encontrar os pontos críticos de g(x)=|x-2| (ponto crítico em x=2, onde g' não existe).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — além dos pontos onde f'(x)=0, pontos onde f'(x) não existe (mas f está definida ali), como bicos ou pontas angulosas, também são pontos críticos.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Encontre os pontos críticos de f(x)=x3-3x.
Gabarito: x=-1 e x=1.
2. Encontre os pontos críticos de g(x)=|x-2|.
Gabarito: x=2 (onde g' não existe).
3. Defina ponto crítico de uma função f.
Gabarito: Um valor c no domínio de f onde f'(c)=0 ou f'(c) não existe.
4. Encontre os pontos críticos de h(x)=x2-4x+1.
Gabarito: x=2 (onde h'(x)=2x-4=0).
5. Encontre o erro: "pontos críticos são só os pontos onde f'(x)=0".
Gabarito: Errado: pontos onde f'(x) não existe (mas f está definida) também são pontos críticos.