Aula 519 — Crescimento e decrescimento
50 minObjetivo geral
Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de uma função a partir do sinal de sua derivada.
Objetivos específicos
- Reconhecer que f'(x)>0 num intervalo implica f crescente ali, e f'(x)<0 implica f decrescente.
- Determinar intervalos de crescimento/decrescimento usando os pontos críticos como fronteiras.
- Distinguir o sinal de f'(x) (que indica crescimento) do sinal de f(x) (que indica se a função está acima ou abaixo do eixo x).
Conhecimentos prévios
- Pontos críticos, Aula 518 deste módulo.
- Intervalos e desigualdades, Módulo 28.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula519_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Wolfram Alpha e GeoGebra CAS, para verificar derivadas e visualizar retas tangentes.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: se f(x) é negativa num intervalo (o gráfico está abaixo do eixo x), isso significa que f é decrescente ali?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever um exemplo de função negativa mas crescente (por exemplo, um trecho de x3-3x abaixo do eixo x mas subindo) e perguntar se f(x)<0 implica decrescimento. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): confundir o SINAL de f(x) (se o gráfico está acima ou abaixo do eixo x) com o SINAL de f'(x) (se o gráfico está subindo ou descendo) — são informações independentes; uma função pode estar bem abaixo do eixo x e mesmo assim subindo (crescente).
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: f é crescente num intervalo onde f'(x)>0, e decrescente onde f'(x)<0 — o sinal da DERIVADA, não da função. Para f(x)=x3-3x, com pontos críticos em x=-1 e x=1 (Aula 518): testando f'(x)=3x2-3 em cada intervalo — f'(-2)=9>0 (crescente em (-∞,-1)); f'(0)=-3<0 (decrescente em (-1,1)); f'(2)=9>0 (crescente em (1,+∞)). Nesse mesmo intervalo decrescente (-1,1), o valor de f(0)=0, mas perto de x=0,5, f(0,5)=-1,375 (negativo) — mesmo sendo negativa ali, a função está DECRESCENDO, o que é consistente com f'<0, não uma coincidência com o sinal de f. Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — o sinal de f(x) (positivo/negativo) e o comportamento de crescer/decrescer são independentes; só o sinal de f'(x) determina se a função cresce ou decresce.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: determinar coletivamente os intervalos de crescimento e decrescimento de f(x)=x3-3x usando os pontos críticos -1 e 1 (crescente em (-∞,-1) e (1,+∞); decrescente em (-1,1)). Em duplas: determinar os intervalos de crescimento/decrescimento de g(x)=x2-4x+1 (decrescente em (-∞,2); crescente em (2,+∞)).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — o sinal de f(x) diz se o gráfico está acima ou abaixo do eixo x; o crescimento/decrescimento é determinado pelo sinal de f'(x), uma informação independente.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f(x)=x3-3x.
Gabarito: Crescente em (-∞,-1) e (1,+∞); decrescente em (-1,1).
2. Determine os intervalos de crescimento/decrescimento de g(x)=x2-4x+1.
Gabarito: Decrescente em (-∞,2); crescente em (2,+∞).
3. O que o sinal de f'(x) indica sobre o comportamento de f?
Gabarito: f'(x)>0 indica f crescente; f'(x)<0 indica f decrescente.
4. Uma função negativa (f(x)<0) pode ser crescente?
Gabarito: Sim — o sinal de f(x) e o crescimento (determinado por f'(x)) são independentes.
5. Encontre o erro: "se f(x) é negativa num intervalo, a função é decrescente ali".
Gabarito: Errado: o sinal de f(x) não determina crescimento; isso é determinado pelo sinal de f'(x), que é independente.