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Aula 541 — Teorema do Valor Médio para integrais

50 min
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Objetivo geral

Aplicar o Teorema do Valor Médio para integrais, calculando o valor médio de uma função num intervalo.

Objetivos específicos

  • Enunciar o TVM para integrais: existe c em [a,b] com f(c)=(1/(b-a))∫[a,b]f(x)dx.
  • Calcular o valor médio de uma função num intervalo.
  • Reconhecer que o valor médio NÃO é simplesmente F(b)-F(a), mas essa diferença dividida por (b-a).

Conhecimentos prévios

  • TFC Parte II, Aula 540 deste módulo.
  • Teorema do Valor Médio (para derivadas), Módulo 30.

Recursos didáticos

  • Apresentação de slides — Possor_MatAula541_Apresentacao.pptx.
  • Quadro/lousa e material de escrita.
  • Wolfram Alpha e GeoGebra CAS, para verificar integrais e visualizar áreas e sólidos de revolução.

Desenvolvimento da aula

Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios

5 min · Ausubel — ativação de subsunçores

O professor pergunta: o valor médio de f(x)=x2 em [0,3] é simplesmente ∫[0,3]x2dx=9?

Problematização Inicial

5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipado

Escrever ∫[0,3]x2dx=9 no quadro e perguntar se esse valor já é o valor médio da função no intervalo. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): confundir o valor da integral definida (9) com o VALOR MÉDIO da função — o valor médio exige dividir a integral pelo comprimento do intervalo (b-a); esquecer essa divisão é um erro comum, análogo a confundir área total com altura média.

Desenvolvimento Conceitual

20 min · Exposição dialogada

Apresentação dos slides 2 a 9: o Teorema do Valor Médio para integrais diz que, se f é contínua em [a,b], existe c em [a,b] tal que f(c)=(1/(b-a))∫[a,b]f(x)dx — esse valor f(c) é chamado de valor médio de f em [a,b]. Para f(x)=x2 em [0,3]: ∫[0,3]x2dx=9, e o valor médio é 9/(3-0)=3 (não 9). Resolvendo esse valor médio, f(c)=c2=3, então c=√3 (a raiz positiva, dentro do intervalo). Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — o valor médio é a integral DIVIDIDA pelo comprimento do intervalo: 9/3=3, não 9; o número 9 é só o valor da integral definida, não o valor médio.

Resolução Guiada

10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento Proximal

Resolução guiada: calcular coletivamente o valor médio de f(x)=2x em [0,4] (∫[0,4]2x dx=16, valor médio=16/4=4). Em duplas: encontrar o ponto c garantido pelo TVM para f(x)=x2 em [0,3] (c=√3).

Exercícios de Fixação

7 min · Prática independente

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Síntese e Fechamento

3 min · Consolidação (fechamento circular)

Retomar a pergunta do Momento 1: não — o valor médio de f(x)=x2 em [0,3] é 9/(3-0)=3, não 9; é preciso dividir o valor da integral pelo comprimento do intervalo para obter o valor médio.

Avaliação formativa

Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.

Lista de exercícios

1. Enuncie o Teorema do Valor Médio para integrais.

Gabarito: Existe c em [a,b] com f(c)=(1/(b-a))∫[a,b]f(x)dx.

2. Qual o valor médio de f(x)=x2 em [0,3]?

Gabarito: 3 (9 dividido por 3).

3. Encontre o ponto c garantido pelo TVM para f(x)=x2 em [0,3].

Gabarito: c=√3.

4. Qual o valor médio de f(x)=2x em [0,4]?

Gabarito: 4.

5. Encontre o erro: "o valor médio de f(x)=x2 em [0,3] é igual a ∫[0,3]x2dx=9".

Gabarito: Errado: é preciso dividir pelo comprimento do intervalo (3); o valor médio correto é 9/3=3.

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