Aula 542 — Integração por substituição
50 minObjetivo geral
Aplicar a técnica de substituição (mudança de variável) para calcular integrais, ajustando também os limites em integrais definidas.
Objetivos específicos
- Escolher uma substituição u=g(x) apropriada e calcular du=g'(x)dx.
- Reescrever e resolver a integral em termos de u.
- Em integrais definidas, converter os limites de integração de x para u ao aplicar a substituição.
Conhecimentos prévios
- Regra da cadeia, Módulo 30 (a substituição é o "inverso" da cadeia).
- Integrais imediatas, Aula 532 deste módulo.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula542_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Wolfram Alpha e GeoGebra CAS, para verificar integrais e visualizar áreas e sólidos de revolução.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: para calcular ∫[0,1]2x(x2+1)3dx usando u=x2+1, os limites de integração (0 e 1) continuam sendo 0 e 1 depois da substituição?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever a integral e a substituição u=x2+1 no quadro e perguntar se os limites mudam. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): esquecer de converter os limites de integração de x para u ao fazer uma substituição numa integral DEFINIDA — os limites 0 e 1 são valores de x, não de u; é preciso recalculá-los em termos de u antes de prosseguir (ou reverter para x no final, mas convertê-los é o caminho mais direto).
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: a substituição u=g(x) transforma ∫f(g(x))g'(x)dx em ∫f(u)du, usando du=g'(x)dx. Para ∫2x(x2+1)3dx: u=x2+1, du=2x dx, a integral vira ∫u3du=u4/4+C=(x2+1)4/4+C. Para a versão DEFINIDA, ∫[0,1]2x(x2+1)3dx: os limites em x (0 e 1) correspondem a u=02+1=1 e u=12+1=2 — a integral se torna ∫[1,2]u3du=[u4/4] de 1 a 2=16/4-1/4=15/4, sem precisar reverter para x no final. Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — os limites mudam de (0,1) em x para (1,2) em u, calculados substituindo os valores de x na fórmula de u=x2+1.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: calcular coletivamente ∫(2x)cos(x2)dx usando u=x2, du=2x dx (resultado sen(x2)+C). Em duplas: calcular ∫[0,2]x·eˣ2dx usando u=x2 (limites viram 0 e 4; resultado (e4-1)/2).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — os limites de integração precisam ser convertidos de x para u; aqui, x=0 vira u=1 e x=1 vira u=2, permitindo terminar a integral inteiramente em termos de u, sem reverter para x.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Calcule ∫2x(x2+1)3dx usando u=x2+1.
Gabarito: (x2+1)4/4+C.
2. Calcule ∫[0,1]2x(x2+1)3dx, convertendo os limites para u.
Gabarito: 15/4 (limites em u: 1 e 2).
3. Calcule ∫(2x)cos(x2)dx.
Gabarito: sen(x2)+C.
4. Para ∫[0,2]x·eˣ2dx com u=x2, quais são os novos limites?
Gabarito: u=0 e u=4.
5. Encontre o erro: "ao fazer uma substituição numa integral definida, os limites de integração continuam os mesmos números".
Gabarito: Errado: os limites precisam ser convertidos para a nova variável u, recalculando-os a partir da fórmula de substituição.