Aula 543 — Integração por partes

O professor pergunta: para calcular ∫x·eˣdx por partes, tanto faz escolher u=x, dv=eˣdx quanto u=eˣ, dv=x dx?

Escrever ∫x·eˣdx no quadro e perguntar se as duas escolhas de u e dv levam ao mesmo nível de dificuldade. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): escolher u e dv sem estratégia, arriscando transformar a integral em algo MAIS complicado do que o problema original — a escolha de u e dv não é arbitrária; o objetivo é que ∫v du seja mais simples de calcular que a integral original, e escolhas ruins pioram o problema.

Apresentação dos slides 2 a 9: a fórmula de integração por partes é ∫u dv=uv-∫v du, derivada a partir da regra do produto para derivadas (Módulo 30). Para ∫x·eˣdx: escolhendo u=x (que se simplifica ao derivar, du=dx) e dv=eˣdx (fácil de integrar, v=eˣ), obtém-se x·eˣ-∫eˣdx=x·eˣ-eˣ+C=(x-1)eˣ+C — uma integral bem mais simples. Se a escolha fosse invertida (u=eˣ, dv=x dx), o resultado envolveria ∫(x²/2)eˣdx, uma integral MAIS complicada que a original, não mais simples. A regra prática: escolher u como a parte que simplifica ao derivar (geralmente polinômios), e dv como a parte fácil de integrar. Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — a escolha u=x, dv=eˣdx simplifica o problema; a escolha invertida (u=eˣ, dv=x dx) piora, gerando uma integral mais difícil que a original.

Resolução guiada: calcular coletivamente ∫x·sen(x)dx por partes, com u=x e dv=sen(x)dx (resultado -x·cos(x)+sen(x)+C). Em duplas: calcular ∫x·cos(2x)dx por partes.

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Retomar a pergunta do Momento 1: não — a escolha de u e dv precisa ser estratégica; u=x, dv=eˣdx simplifica a integral, enquanto a escolha invertida a torna mais complicada que o problema original.