Aula 544 — Integração de funções racionais
50 minObjetivo geral
Integrar funções racionais impróprias, aplicando divisão polinomial antes de outras técnicas.
Objetivos específicos
- Reconhecer uma função racional imprópria (grau do numerador ≥ grau do denominador).
- Aplicar divisão polinomial para reescrever a função como polinômio mais um resto sobre o denominador.
- Integrar cada parte separadamente após a divisão.
Conhecimentos prévios
- Divisão de polinômios, Módulo 10.
- Integrais imediatas, Aula 532 deste módulo.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula544_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Wolfram Alpha e GeoGebra CAS, para verificar integrais e visualizar áreas e sólidos de revolução.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: para integrar x3/(x-1), dá pra aplicar direto alguma regra de integração de fração, sem mexer na expressão antes?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever ∫x3/(x-1)dx no quadro e perguntar se existe uma técnica direta para essa fração, do jeito que está. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): tentar integrar uma função racional IMPRÓPRIA (grau do numerador maior ou igual ao do denominador) diretamente, sem simplificar primeiro — assim como no Módulo 28 (assíntota oblíqua), quando o grau de cima é maior ou igual ao de baixo, é preciso fazer a divisão polinomial ANTES de aplicar qualquer técnica de integração.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: quando o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador (fração imprópria), divide-se primeiro: x3÷(x-1) dá quociente x2+x+1 e resto 1, então x3/(x-1)=x2+x+1+1/(x-1). Integrando termo a termo: ∫(x2+x+1+1/(x-1))dx=x3/3+x2/2+x+ln|x-1|+C. Sem essa divisão prévia, não há regra direta para integrar a fração imprópria original. Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — é preciso fazer a divisão polinomial primeiro, reescrevendo a fração imprópria como polinômio mais uma fração própria, e só então integrar cada parte.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: dividir e integrar coletivamente ∫x2/(x+1)dx (dividindo: x-1+1/(x+1), integrando: x2/2-x+ln|x+1|+C). Em duplas: dividir e integrar ∫(x2+1)/(x-2)dx.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — x3/(x-1) é uma fração imprópria (grau do numerador maior que o do denominador); é preciso fazer a divisão polinomial primeiro, obtendo x2+x+1+1/(x-1), e só então integrar cada termo separadamente.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Divida x3 por (x-1) e escreva o resultado.
Gabarito: x2+x+1+1/(x-1).
2. Calcule ∫x3/(x-1)dx.
Gabarito: x3/3+x2/2+x+ln|x-1|+C.
3. Calcule ∫x2/(x+1)dx.
Gabarito: x2/2-x+ln|x+1|+C.
4. Quando é necessário fazer divisão polinomial antes de integrar uma função racional?
Gabarito: Quando o grau do numerador é maior ou igual ao grau do denominador (fração imprópria).
5. Encontre o erro: "x3/(x-1) pode ser integrada diretamente, sem nenhuma manipulação prévia".
Gabarito: Errado: é uma fração imprópria; é preciso fazer a divisão polinomial antes de integrar.