Aula 545 — Frações parciais
50 minObjetivo geral
Decompor funções racionais próprias em frações parciais, incluindo o tratamento correto de fatores repetidos.
Objetivos específicos
- Decompor uma função racional com fatores lineares distintos no denominador.
- Reconhecer que um fator repetido (x-a)2 exige DOIS termos na decomposição, não apenas um.
- Integrar cada fração parcial separadamente, usando técnicas já conhecidas.
Conhecimentos prévios
- Integração de funções racionais, Aula 544 deste módulo.
- Fatoração de expressões algébricas, Módulo 5.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula545_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Wolfram Alpha e GeoGebra CAS, para verificar integrais e visualizar áreas e sólidos de revolução.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: para decompor 1/((x-1)(x-2)2), o termo do fator repetido (x-2)2 tem uma única fração parcial, C/(x-2)2?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever a decomposição parcial no quadro, propondo A/(x-1)+C/(x-2)2 e perguntar se essa forma está completa. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): usar apenas UM termo para um fator repetido no denominador — quando um fator como (x-2) aparece elevado ao quadrado, a decomposição correta exige DOIS termos para ele, B/(x-2) E C/(x-2)2, não apenas um; usar só um termo torna o sistema de equações impossível de resolver corretamente.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: para decompor uma função racional própria em frações parciais, cada fator LINEAR distinto (x-a) no denominador gera um termo A/(x-a); cada fator REPETIDO (x-a)k gera K termos: A1/(x-a)+A2/(x-a)2+...+Ak/(x-a)k. Para 1/((x-1)(x-2)2): a decomposição correta é A/(x-1)+B/(x-2)+C/(x-2)2 (três termos, não dois) — resolvendo o sistema, obtém-se A=1, B=-1, C=1. Depois de decompor, cada termo se integra separadamente: ∫A/(x-1)dx=A·ln|x-1|+C1, e ∫C/(x-2)2dx=-C/(x-2)+C2 (usando a regra da potência, já que (x-2)-2 não é o caso excepcional n=-1). Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — o fator repetido (x-2)2 exige DOIS termos, B/(x-2) e C/(x-2)2, não apenas C/(x-2)2; omitir o termo B/(x-2) torna a decomposição incompleta.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: decompor coletivamente (3x+5)/((x-1)(x+2)) (resultado 8/(3(x-1))+1/(3(x+2))). Em duplas: montar (sem resolver os coeficientes) a forma da decomposição de 1/(x(x-3)2) (A/x+B/(x-3)+C/(x-3)2).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — um fator repetido (x-2)2 exige dois termos na decomposição, B/(x-2) e C/(x-2)2, não apenas um único termo C/(x-2)2; essa é a regra específica para fatores repetidos.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Decomponha (3x+5)/((x-1)(x+2)) em frações parciais.
Gabarito: 8/(3(x-1))+1/(3(x+2)).
2. Quantos termos a decomposição de 1/((x-1)(x-2)2) precisa ter?
Gabarito: Três: A/(x-1), B/(x-2), C/(x-2)2.
3. Monte a forma da decomposição de 1/(x(x-3)2), sem resolver os coeficientes.
Gabarito: A/x+B/(x-3)+C/(x-3)2.
4. Por que um fator repetido (x-a)2 exige dois termos na decomposição?
Gabarito: Porque um único termo não é suficiente para representar todas as possibilidades algébricas geradas pela repetição do fator.
5. Encontre o erro: "para o fator (x-2)2 no denominador, basta um termo C/(x-2)2 na decomposição".
Gabarito: Errado: fatores repetidos exigem um termo para cada potência, B/(x-2) e C/(x-2)2, não apenas um.