Aula 546 — Integrais trigonométricas
50 minObjetivo geral
Integrar potências de funções trigonométricas usando identidades, quando a substituição direta não se aplica.
Objetivos específicos
- Reconhecer que ∫sen2(x)dx não se resolve por substituição simples.
- Aplicar a identidade de redução de potência sen2(x)=(1-cos(2x))/2 antes de integrar.
- Integrar potências ímpares de seno/cosseno separando um fator e usando a identidade pitagórica.
Conhecimentos prévios
- Integração por substituição, Aula 542 deste módulo.
- Identidades trigonométricas, Módulo 24.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula546_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Wolfram Alpha e GeoGebra CAS, para verificar integrais e visualizar áreas e sólidos de revolução.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: para calcular ∫sen2(x)dx, dá pra usar substituição direta, como u=sen(x)?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever ∫sen2(x)dx no quadro e propor u=sen(x), du=cos(x)dx e perguntar se essa substituição funciona. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): tentar aplicar substituição simples a ∫sen2(x)dx sem perceber que falta um fator cos(x) para fechar a substituição (ela funcionaria para ∫sen(x)cos(x)dx, mas não para sen2(x) sozinho) — para potências pares isoladas como sen2(x), a técnica correta é usar a identidade de redução de potência, não uma substituição.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: para ∫sen2(x)dx, a substituição u=sen(x) não fecha, pois falta o fator cos(x)dx=du; a técnica correta usa a identidade sen2(x)=(1-cos(2x))/2 (redução de potência), reescrevendo a integral como ∫(1-cos(2x))/2 dx=x/2-sen(2x)/4+C. Já para potências ÍMPARES, como ∫sen3(x)dx, separa-se um fator: sen3(x)=sen2(x)·sen(x)=(1-cos2(x))·sen(x), e a substituição u=cos(x) funciona perfeitamente (pois du=-sen(x)dx está disponível). Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — falta um fator cos(x) para a substituição u=sen(x) funcionar; a técnica correta para sen2(x) é a identidade de redução de potência sen2(x)=(1-cos(2x))/2.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: calcular coletivamente ∫cos2(x)dx usando a identidade cos2(x)=(1+cos(2x))/2 (resultado x/2+sen(2x)/4+C). Em duplas: calcular ∫sen3(x)dx separando um fator e substituindo u=cos(x) (resultado -cos(x)+cos3(x)/3+C).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — a substituição u=sen(x) exige um fator cos(x)dx que não está presente; para ∫sen2(x)dx, a técnica correta é a identidade de redução de potência, não uma substituição direta.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Por que u=sen(x) não funciona diretamente para ∫sen2(x)dx?
Gabarito: Porque falta um fator cos(x)dx=du disponível na expressão.
2. Calcule ∫sen2(x)dx usando a identidade de redução de potência.
Gabarito: x/2-sen(2x)/4+C.
3. Calcule ∫cos2(x)dx.
Gabarito: x/2+sen(2x)/4+C.
4. Calcule ∫sen3(x)dx separando um fator.
Gabarito: -cos(x)+cos3(x)/3+C.
5. Encontre o erro: "∫sen2(x)dx se resolve com a substituição direta u=sen(x)".
Gabarito: Errado: falta o fator cos(x)dx para fechar a substituição; a técnica correta usa a identidade de redução de potência.