Aula 90 — Produto da soma pela diferença
50 minObjetivo geral
Expandir o produto da soma pela diferença de dois termos, deduzindo (a+b)(a-b)=a2-b2, e reconhecer o cancelamento dos termos cruzados.
Objetivos específicos
- Deduzir (a+b)(a-b)=a2-b2 a partir da distributiva completa.
- Reconhecer que os dois termos cruzados se cancelam, restando apenas dois termos no resultado.
- Aplicar a fórmula para multiplicações numéricas rápidas.
- Diferenciar (a+b)(a-b) dos produtos notáveis (a+b)2 e (a-b)2, vistos nas aulas anteriores.
Conhecimentos prévios
- Quadrado da soma e da diferença de dois termos, Módulo 5, Aulas 88 e 89.
- Multiplicação de polinômios, Módulo 4, Aula 86.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula90_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Wolfram Alpha (para conferir a expansão simbólica e comparar com o resultado manual), em computador ou celular.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: "(a+b)(a-b) dá o mesmo resultado de (a+b)2 ou de (a-b)2? Ou é outra coisa?" Ouvir hipóteses.
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever "(x+4)(x-4)" no quadro e perguntar: quantos termos vai ter o resultado final, depois de somar os produtos parciais? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): esperar que os quatro produtos parciais da distributiva sobrevivam no resultado final, sem perceber que dois deles são opostos e se cancelam.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: (a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2 — os termos -ab e +ab são opostos e se cancelam, isso resolve o obstáculo do Momento 2: sobram só dois termos, não quatro. Então (x+4)(x-4)=x2-16. Diferente de (a+b)2 e (a-b)2, que têm três termos cada, o produto da soma pela diferença sempre resulta em dois termos: o quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: expandir coletivamente (2x+5)(2x-5), narrando os quatro produtos parciais e o cancelamento. Em duplas: calcular 31×29 usando (30+1)(30-1).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: (a+b)(a-b)=a2-b2, diferente dos dois produtos notáveis anteriores — os termos cruzados se cancelam e sobram só dois termos.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Expanda (x+3)(x-3).
Gabarito: x2-32=x2-9.
2. Expanda (2x+5)(2x-5).
Gabarito: (2x)2-52=4x2-25.
3. Calcule 31×29 usando (30+1)(30-1).
Gabarito: 302-12=900-1=899.
4. Encontre o erro: "(x+4)(x-4) calculado como x2+16".
Gabarito: O sinal está errado e faltou considerar o cancelamento dos termos cruzados. O correto é x2-16 (não x2+16).
5. Expanda (a+7)(a-7).
Gabarito: a2-72=a2-49.