Aula 91 — Cubo da soma e cubo da diferença
50 minObjetivo geral
Deduzir e aplicar as fórmulas do cubo da soma, (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3, e do cubo da diferença, (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3.
Objetivos específicos
- Deduzir (a+b)3 a partir de (a+b)2(a+b), reaproveitando o resultado da Aula 88.
- Reconhecer o padrão de sinais alternados na fórmula do cubo da diferença.
- Aplicar as fórmulas para expandir cubos de somas e diferenças algébricas.
- Relacionar os coeficientes 1, 3, 3, 1 com o padrão do triângulo de Pascal.
Conhecimentos prévios
- Quadrado da soma e da diferença de dois termos, Módulo 5, Aulas 88 e 89.
- Multiplicação de polinômios, Módulo 4, Aula 86.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula91_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- GeoGebra CAS (para expandir (a+b)3 passo a passo e conferir os coeficientes), em computador ou celular.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: "(a+b)3 é igual a a3+b3? Por que (a+b)2 não era igual a a2+b2?" Ouvir hipóteses.
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever "(x+1)3=x3+1" no quadro e perguntar: essa expansão está completa? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): "distribuir a potência" sobre a soma mais uma vez, agora no cubo — o mesmo padrão de erro do quadrado (Aula 88), generalizado para qualquer expoente.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: (a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b), e distribuindo termo a termo: a3+a2b+2a2b+2ab2+ab2+b3=a3+3a2b+3ab2+b3 — isso resolve o obstáculo do Momento 2: faltam os termos do meio, então (x+1)3=x3+3x2+3x+1, não x3+1. Para o cubo da diferença, os sinais alternam: (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3. Os coeficientes 1, 3, 3, 1 seguem o mesmo padrão do triângulo de Pascal usado para (a+b)2 (coeficientes 1, 2, 1).
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: expandir coletivamente (x+2)3 a partir de (x+2)2(x+2). Em duplas: expandir (x-1)3, prestando atenção na alternância de sinais.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — assim como no quadrado, o cubo da soma tem termos do meio (3a2b e 3ab2) que não podem ser ignorados.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Expanda (x+2)3.
Gabarito: x3+3·x2·2+3·x·22+23=x3+6x2+12x+8.
2. Expanda (x-1)3.
Gabarito: x3-3·x2·1+3·x·12-13=x3-3x2+3x-1.
3. Encontre o erro: "(x+1)3 calculado como x3+1".
Gabarito: Faltam os termos do meio. O correto é x3+3x2+3x+1.
4. Quais são os coeficientes de (a+b)3, na ordem? Relacione com o triângulo de Pascal.
Gabarito: 1, 3, 3, 1 — a mesma linha do triângulo de Pascal usada para expandir potências de binômios de expoente 3.
5. Expanda (2x-1)3.
Gabarito: (2x)3-3·(2x)2·1+3·(2x)·12-13=8x3-12x2+6x-1.
Observações e extensão
Última aula da parte de expansão (produtos notáveis) do módulo. A partir da próxima aula, o processo se inverte: em vez de expandir, vamos fatorar — reconhecer um polinômio já expandido e reescrevê-lo como produto.