Aula 93 — Fatoração por agrupamento
50 minObjetivo geral
Fatorar expressões de quatro termos sem fator comum único, agrupando termos em pares e fatorando cada par separadamente.
Objetivos específicos
- Reconhecer quando uma expressão de quatro termos não tem um único fator comum a todos.
- Agrupar os termos em pares que compartilham um fator comum entre si.
- Fatorar cada par e identificar o fator comum resultante entre os grupos.
- Verificar a fatoração final distribuindo o resultado de volta.
Conhecimentos prévios
- Fator comum em evidência, Módulo 5, Aula 92.
- Multiplicação de polinômios, Módulo 4, Aula 86.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula93_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Lista de expressões de quatro termos para fatorar por agrupamento.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: "em ax+ay+bx+by, existe um único número ou letra comum a TODOS os quatro termos?" Ouvir hipóteses.
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever "ax+ay+bx+by" no quadro e perguntar: como fatorar essa expressão, se não tem um fator comum a todos os quatro termos? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): travar procurando um único fator comum global, sem considerar a possibilidade de agrupar os termos em pares antes de fatorar.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: quando não há fator comum a todos os termos, agrupamos em pares que TÊM fator comum entre si — isso resolve o obstáculo do Momento 2: (ax+ay)+(bx+by)=a(x+y)+b(x+y). Agora (x+y) é o fator comum entre os dois grupos, e fatorando mais uma vez: (x+y)(a+b). A ordem do agrupamento pode mudar, mas o resultado final é o mesmo, desde que os pares escolhidos realmente compartilhem um fator.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: fatorar coletivamente 3x2+3xy+2x+2y por agrupamento, narrando cada etapa. Em duplas: fatorar x3+x2+x+1.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não precisa ter um fator comum a todos os quatro termos de uma vez — agrupando em pares certos, cada par revela seu próprio fator comum.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Fatore ax+ay+bx+by por agrupamento.
Gabarito: (ax+ay)+(bx+by)=a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b).
2. Fatore 3x2+3xy+2x+2y.
Gabarito: (3x2+3xy)+(2x+2y)=3x(x+y)+2(x+y)=(x+y)(3x+2).
3. Fatore x3+x2+x+1.
Gabarito: (x3+x2)+(x+1)=x2(x+1)+1(x+1)=(x+1)(x2+1).
4. Fatore mn+2m+3n+6.
Gabarito: (mn+2m)+(3n+6)=m(n+2)+3(n+2)=(n+2)(m+3).
5. Encontre o erro: tentar fatorar ax+by+ay+bx procurando um único fator comum aos quatro termos, sem reagrupar.
Gabarito: Não existe um fator comum único aos quatro termos nessa ordem; é preciso reagrupar (ax+ay)+(bx+by)=a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b) para revelar os fatores comuns por par.