Aula 105 — Equações com módulo
50 minObjetivo geral
Resolver equações que envolvem módulo, reconhecendo que |x|=a gera dois casos possíveis quando a é positivo.
Objetivos específicos
- Reconhecer o significado do módulo (valor absoluto) de um número.
- Resolver |x|=a decompondo em dois casos: x=a ou x=−a.
- Resolver equações do tipo |ax+b|=c, aplicando a mesma decomposição.
- Verificar cada solução encontrada substituindo na equação original com módulo.
Conhecimentos prévios
- Equações do primeiro grau, Módulo 6, Aula 98.
- Números inteiros e reta numérica (distância até o zero), Módulo 1.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula105_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- GeoGebra CAS (para conferir as duas soluções de uma equação modular), em computador ou celular.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: "quantos números têm distância 5 até o zero, na reta numérica?" Ouvir hipóteses.
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever "|x|=5 resolvido só como x=5" no quadro e perguntar: essa é a única solução possível? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): resolver uma equação com módulo considerando só o caso positivo, esquecendo que o módulo representa DISTÂNCIA até o zero, e por isso tanto um número quanto seu oposto podem satisfazer a equação.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: |x| representa a distância de x até o zero, sempre um valor não negativo — então |x|=5 significa "todo número cuja distância até o zero é 5", o que vale tanto para x=5 quanto para x=−5. Isso resolve o obstáculo do Momento 2: a equação |x|=5 tem DUAS soluções, x=5 ou x=−5. Para |x−2|=7, a mesma ideia: x−2=7 ou x−2=−7, resultando em x=9 ou x=−5.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: resolver coletivamente |x+3|=8, decompondo nos dois casos. Em duplas: resolver |2x−1|=5.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: dois números, 5 e −5 — e o mesmo raciocínio vale para qualquer equação |x|=a, com a positivo.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Resolva |x|=5.
Gabarito: x=5 ou x=−5.
2. Resolva |x−2|=7.
Gabarito: x−2=7 ou x−2=−7 → x=9 ou x=−5.
3. Resolva |x+3|=8.
Gabarito: x+3=8 ou x+3=−8 → x=5 ou x=−11.
4. Encontre o erro: "|x|=5 resolvido só como x=5".
Gabarito: Faltou o segundo caso: x também pode ser −5, pois |−5|=5.
5. Resolva |2x−1|=5.
Gabarito: 2x−1=5 ou 2x−1=−5 → x=3 ou x=−2.