Aula 107 — Equações fracionárias
50 minObjetivo geral
Resolver equações fracionárias, com a incógnita no denominador, respeitando a restrição de que o denominador não pode ser zero.
Objetivos específicos
- Reconhecer uma equação fracionária, com incógnita no denominador.
- Identificar a restrição de domínio (valores que anulam algum denominador).
- Resolver a equação eliminando os denominadores, como na Aula 100.
- Verificar se a solução encontrada respeita a restrição de domínio.
Conhecimentos prévios
- Equações do primeiro grau com frações, Módulo 6, Aula 100.
- Divisão por zero não é definida, Módulo 1.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula107_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Lista de equações fracionárias, incluindo um caso em que a solução aparente precisa ser descartada.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: "em 1/(x−2)=3, existe algum valor de x que NUNCA pode ser solução, antes mesmo de resolver?" Ouvir hipóteses.
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever "1/(x−2)=3 resolvido só multiplicando os dois lados por (x−2) e aceitando qualquer resultado" no quadro e perguntar: e se o resultado encontrado for justamente x=2? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): esquecer de verificar a restrição de domínio (denominador ≠ zero) antes de aceitar a solução final, tratando a equação fracionária como se não tivesse nenhuma restrição.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: numa equação fracionária, o denominador NUNCA pode ser zero — antes de resolver, identificamos essa restrição (aqui, x≠2). Depois, eliminamos o denominador multiplicando os dois lados por ele: 1=3(x−2) → 1=3x−6 → 3x=7 → x=7/3. Isso resolve o obstáculo do Momento 2: x=7/3 respeita a restrição (é diferente de 2), então é uma solução válida — mas se a resolução tivesse resultado em x=2, essa solução deveria ser descartada.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: resolver coletivamente 2/(x+1)=4, identificando a restrição antes de resolver. Em duplas: resolver 3/(x−5)=1 e verificar a restrição.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: sim — x=2 nunca pode ser solução, pois anularia o denominador (x−2).
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Resolva 1/(x−2)=3, indicando a restrição de domínio.
Gabarito: Restrição: x≠2. 1=3(x−2) → 1=3x−6 → x=7/3 (válida, pois 7/3≠2).
2. Resolva 2/(x+1)=4.
Gabarito: Restrição: x≠−1. 2=4(x+1) → 2=4x+4 → x=−1/2 (válida).
3. Resolva 3/(x−5)=1.
Gabarito: Restrição: x≠5. 3=x−5 → x=8 (válida).
4. Resolva (x−2)/(x−2)=1 e explique o que acontece.
Gabarito: A expressão só está definida para x≠2 (denominador não pode ser zero); para todo x≠2, a equação é sempre verdadeira, mas x=2 nunca pode ser considerado.
5. Encontre o erro: resolver 1/(x−2)=3 sem mencionar nenhuma restrição sobre x.
Gabarito: Faltou indicar que x≠2, já que esse valor anularia o denominador antes mesmo de resolver a equação.