Aula 167 — Discriminante e natureza das raízes
50 minObjetivo geral
Analisar o discriminante Δ para determinar a natureza das raízes de uma equação do segundo grau, sem precisar calcular as raízes completas.
Objetivos específicos
- Reconhecer que Δ>0 indica duas raízes reais distintas.
- Reconhecer que Δ=0 indica uma raiz real dupla (as duas raízes coincidem).
- Reconhecer que Δ<0 indica que a equação não tem raízes reais.
- Determinar a natureza das raízes calculando só o discriminante, sem aplicar a fórmula completa.
Conhecimentos prévios
- Fórmula de Bhaskara, Módulo 9, Aula 166.
- Potenciação com expoentes inteiros, Módulo 4, Aula 73.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula167_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Lista de equações para classificar pela natureza das raízes, sem resolver completamente.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: "se Δ é negativo, dá pra saber ALGUMA coisa sobre as raízes, sem calcular mais nada?" Ouvir hipóteses.
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever "Δ<0 significa que a equação não tem solução NENHUMA, nunca" no quadro e perguntar: essa afirmação está completa? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): concluir que Δ<0 significa "sem solução alguma", sem qualificar que essa ausência de solução é especificamente nos números REAIS — a equação pode ter soluções em outro conjunto numérico (números complexos, tema de um módulo futuro), mesmo sem solução real.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: o discriminante Δ revela a natureza das raízes sem precisar calcular a fórmula completa: Δ>0 dá duas raízes REAIS distintas; Δ=0 dá uma raiz REAL dupla (as duas raízes de Bhaskara coincidem, pois √0=0); Δ<0 significa que não existe raiz QUADRADA REAL de um número negativo, então a equação NÃO TEM raízes REAIS — isso resolve o obstáculo do Momento 2: "sem solução" precisa ser qualificado como "sem solução real", já que a raiz quadrada de um número negativo é definida em outro conjunto numérico, os números complexos.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: classificar coletivamente a natureza das raízes de x2-4x+4=0 (Δ=0) sem resolver completamente. Em duplas: classificar x2+x+1=0 (Δ<0) e x2-x-6=0 (Δ>0).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: sim — dá pra saber que não existe raiz real, mas é importante dizer "raiz real", não "raiz nenhuma" de forma absoluta.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Determine a natureza das raízes de x2-4x+4=0, sem resolver completamente.
Gabarito: Δ=16−16=0: uma raiz real dupla.
2. Determine a natureza das raízes de x2+x+1=0.
Gabarito: Δ=1−4=−3<0: não tem raízes reais.
3. Determine a natureza das raízes de x2-x-6=0.
Gabarito: Δ=1+24=25>0: duas raízes reais distintas.
4. Encontre o erro: "Δ<0 significa que a equação não tem solução NENHUMA, nunca".
Gabarito: Δ<0 significa que não há solução REAL — a equação pode ter soluções em outro conjunto numérico (números complexos), tema de um módulo futuro.
5. Para quais valores de k a equação x2-6x+k=0 tem raiz dupla?
Gabarito: Δ=0 → 36−4k=0 → k=9.