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Aula 168 — Relações de Girard

50 min
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Objetivo geral

Aplicar as Relações de Girard para calcular a soma e o produto das raízes de uma equação do segundo grau sem resolvê-la completamente.

Objetivos específicos

  • Enunciar a relação da soma das raízes: S=−b/a.
  • Enunciar a relação do produto das raízes: P=c/a.
  • Aplicar as relações de Girard para calcular soma e produto sem usar Bhaskara.
  • Verificar as relações de Girard resolvendo a equação completa e conferindo soma e produto.

Conhecimentos prévios

  • Fórmula de Bhaskara, Módulo 9, Aula 166.
  • Frações e razão, Módulo 2.

Recursos didáticos

  • Apresentação de slides — Possor_MatAula168_Apresentacao.pptx.
  • Quadro/lousa e material de escrita.
  • Calculadora, para conferir soma e produto das raízes.

Desenvolvimento da aula

Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios

5 min · Ausubel — ativação de subsunçores

O professor pergunta: "em x2-5x+6=0, a soma das raízes é igual ao coeficiente b, direto?" Ouvir hipóteses.

Problematização Inicial

5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipado

Escrever "soma das raízes = b/a, sem o sinal negativo" no quadro e perguntar: essa fórmula está completa? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): esquecer o sinal NEGATIVO na fórmula da soma das raízes (usar S=b/a em vez de S=−b/a), invertendo o sinal do resultado.

Desenvolvimento Conceitual

20 min · Exposição dialogada

Apresentação dos slides 2 a 9: as Relações de Girard dizem que a soma das raízes é S=−b/a (com o sinal negativo) e o produto é P=c/a — isso resolve o obstáculo do Momento 2: para x2-5x+6=0 (a=1,b=-5,c=6), a soma correta é S=-(-5)/1=5 (não -5), e o produto é P=6/1=6. Conferindo com as raízes já conhecidas (x=2 e x=3, da Aula 166): soma=2+3=5 ✓, produto=2×3=6 ✓.

Resolução Guiada

10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento Proximal

Resolução guiada: calcular coletivamente soma e produto das raízes de x2+2x-3=0 usando Girard, sem resolver a equação. Em duplas: calcular soma e produto de 2x2-7x+3=0 e conferir com as raízes já encontradas na Aula 166.

Exercícios de Fixação

7 min · Prática independente

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Síntese e Fechamento

3 min · Consolidação (fechamento circular)

Retomar a pergunta do Momento 1: não — a soma tem sinal negativo na fórmula, S=−b/a, não b/a.

Avaliação formativa

Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.

Lista de exercícios

1. Calcule a soma e o produto das raízes de x2-5x+6=0 usando Girard.

Gabarito: S=−(−5)/1=5; P=6/1=6.

2. Calcule a soma e o produto das raízes de x2+2x-3=0.

Gabarito: S=−2/1=−2; P=−3/1=−3.

3. Calcule a soma e o produto das raízes de 2x2-7x+3=0.

Gabarito: S=−(−7)/2=7/2; P=3/2.

4. Encontre o erro: "soma das raízes = b/a, sem o sinal negativo".

Gabarito: A fórmula correta é S=−b/a, com o sinal negativo. Esquecê-lo inverte o sinal do resultado.

5. As raízes de uma equação são 4 e −1. Qual é a soma e o produto?

Gabarito: Soma=4+(−1)=3; produto=4×(−1)=−4.

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